区间专题（一）、分块及莫队算法

邀请赛之前可能只会更这一次了吧QAQ

久闻莫队算法的大名，号称是“可以解决任何区间问题”的算法，今天就来稍微说一下莫队算法。

这个算法是一位名叫莫涛的国家队队长发明的算法，所以尊称为莫队算法

莫队的原版文章里面的题目有一定难度，所以可以先看一下这道例题：

Description

    有n个数字，给出k，以及m个查询。

    每次查询的格式是L，r，求L~r（左右包含）这个区间内数字的出现次数刚好是k的数字种数。

    范围：n<=30000，k<=n，m<=30000，1<=L

    输入n，k，m，然后n个元素，然后m行查询，对于每一个询问，输出正确的答案。

Example input：

5 2 3

1 2 3 2 2

1 2

2 4

1 5

Example output：

0

1

0

关于这道题，最直观的感觉就是暴力大法好。对于每一次询问，我们都遍历L~r的所有数字，并记录出现次数为k的数字。这样的话复杂度是O(n*m)的，肯定是过不了的。

再来看一下MyZhY提出的一种方法。

设置两个指针left和right，分别指向被查询的区间左右端点L，r，然后将这两个指针不断地移动到下一个待查区间，每次移动的时候把移动的位置上的数字出现次数+1。这么做当然是可以的，但最坏情况下，每次询问移动的大小仍有可能是n次，复杂度依旧没有改变，甚至可能更慢。

但是莫队算法就是基于这种思想实现的。莫队首先给这个序列分块。什么是分块？顾名思义就是把一个完整的序列分割成若干个大小近似相同的块，维护这些块的性质就可以了。分块的时候一般是分成√n（向上取整）个块（除了最后一个块可能不完整），这样每个块里的元素近似等于√n了。我们给这些块按左端点L排序，每个块内部按右端点排序，这样一来就会有神奇的事情发生。我们仍然考虑以上的双指针思路，并分成几种情况：

1、待查询的区间完全包含在一个块内。这样直接遍历块内的所有元素就可以了，由于最多√n个元素，所以left指针最多移动√n次，而right指针则未知，最多移动n次，故复杂度是O(n√n)

2、待查询的区间跨越了不同块。则right最多也是移动√次，由于有n个块，所以最终的复杂度也是O(n√n)，而left在每一次询问下也最多移动√n次，共m√n次。

由此，该算法的总复杂度为O(（m+n）√n)，足以应付大部分的情况了。

总结一下，莫队算法的用途是处理一系列离线的，一般是不带修改的区间查询问题。带修改的莫队的话则需要把二元组[left,right]变成三元组[left,right,x]，代表询问left到right这个区间在经过x次修改后的答案。另外还有一些什么树上莫队，草丛莫队（提莫？）之类的骚操作我也不会QAQ

今天的例题CodeForces 617E如下：

E. XOR and Favorite Number

time limit per test

4 seconds

memory limit per test

256 megabytes

input

standard input

output

standard output

Bob has a favorite number k and ai of length n. Now he asks you to answer m queries. Each query is given by a pair li and ri and asks you to count the number of pairs of integers i and j, such that l ≤ i ≤ j ≤ r and the xor of the numbers ai, ai + 1, ..., aj is equal to k.

Input

The first line of the input contains integers n, m and k (1 ≤ n, m ≤ 100 000, 0 ≤ k ≤ 1 000 000) — the length of the array, the number of queries and Bob's favorite number respectively.

The second line contains n integers ai (0 ≤ ai ≤ 1 000 000) — Bob's array.

Then m lines follow. The i-th line contains integers li and ri (1 ≤ li ≤ ri ≤ n) — the parameters of the i-th query.

Output

Print m lines, answer the queries in the order they appear in the input.

Examples

input

Copy

6 2 3
1 2 1 1 0 3
1 6
3 5

output

Copy

7
0

input

Copy

5 3 1
1 1 1 1 1
1 5
2 4
1 3

output

Copy

9
4
4

Note

In the first sample the suitable pairs of i and j for the first query are: (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 6), (5, 6), (6, 6). Not a single of these pairs is suitable for the second query.

In the second sample xor equals 1 for all subarrays of an odd length.

题意：给你一串数字，每次问你某个区间的所有子区间中异或和为k的有多少。

分析：可以看作莫队的模板题，我们先求区间的异或前缀和xor[]，然后对前缀和做莫队算法。根据异或的性质，xor[l-1]^xor[r]==k等价于k^xor[r]=xor[l-1]或者xor[l-1]^k=xor[r].某区间[i,j]的异或和就是xor[i-1]^xor[j].

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 2e6+7;
struct node {int l,r,id;}q[maxn];
int a[maxn],pos[maxn],flag[maxn];
LL ans[maxn],sum[maxn];
int n,m,k;
LL Ans=0;
bool cmp(node a,node b)
{
    if(pos[a.l]!=pos[b.l]) return pos[a.l]l){dele(l-1);l++;}
            while(q[i].rr){r++;add(r);}
            ans[q[i].id]=Ans;
        }
        for(i=1;i<=m;i++) printf("%I64d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}