有向图强连通分支的Tarjan算法

做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中 的访问序号(也可以叫做开始时间）。在DFS过程中会形成 一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就 越小。dfn值越小的节点，就称为越“早” 。 ◦ 用low[i]表示从i节点出发DFS过程中i下方节点(开始时 间大于dfn[i]，且由i可达的节点）所能到达的最早的节点的 开始时间。初始时low[i]=dfn[i]
◦ DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节 点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。
◦ 如果发现某节点u有边连到栈里的节点v，则更新u的low 值 为min(low[u],dfn[v]) ，若low[u]被更新为dfn[v],则表明目前 发现u可达的最早的节点是v.

有向图强连通分支的Tarjan算法

◦对于u的子节点v，从v出发进行的DFS结束回到u 时，使得 low[u] = min(low[u],low[v])。因为u可达v, 所以v可达的最早的节点，也是u可达的。
◦ 如果一个节点u，从其出发进行的DFS已经全部完 成并回到u，而且此时其low值等于dfn值，则说明 u可达的所有节点，都不能到达任何比u早的节点 — 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树 中的根。
◦ 此时，显然栈中u上方的节点，都是不能到达比u 早的节点的。将栈中节点弹出，一直弹到u(包括u), 弹出的节点就构成了一个强连通分量.

伪码：

void Tarjan(u)
{
    dfn[u]=low[u]=++index
    stack.push(u);
    for each(u,v) in E
    {
        if (v is not visited)
        {
            tarjan(v)
            low[u]=min(low[u],low[v])
        }
        else if (v in stack)
        {
            low[u]=min(low[u],dfn[v])
        }
    }
    if (dfn[u]==low[u])
    {
        //u是一个强连通分量的根
        repeat
           v=stack.pop
           print v
        until (u==v)
    } //退栈 把整个强连通分量都push出来
} //O(E+V)

附kuangbin模板源码：

#include"kuangbin.h"
#include
using namespace std;
//复杂度O(N+M)的Tarjan算法
const int MAXN=20010; //点数
const int MAXM=50010; //边数
struct Edge
{
    int to,next;
}edge[MAXM];
int head[MAXN],tot;
int low[MAXN],DFN[MAXN],Stack[MAXN],Belong[MAXN]; //Belong数组的值是1~scc（强连通分量的个数）
int Index,top;
int scc; //强连通分量的个数
bool Instack[MAXN];
int num[MAXN]; //各个强连通分量包含点的个数 数组编号即为1~scc
//这个num数组不一定需要
void addedge(int u,int v)
{
   edge[tot].to = v;
   edge[tot].next = head[u];
   head[u] = tot++;
}
void Tarjan(int u)
{
    int v;
    low[u]=DFN[u]=++Index;
    Stack[top++]=u; //入栈
    Instack[u]=true;
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        v=edge[i].to;
        if (!DFN[v])
        {
            Tarjan(v);
            if (low[u]>low[v])
                low[u]=low[v];
        }
        else if (Instack[v]&&low[u]>DFN[v])
            low[u]=DFN[v];
    }
    if (low[u]==DFN[u])
    {
        scc++;
        do
        {
            v=Stack[--top];
            Instack[v]=false;
            Belong[v]=scc;
            num[scc]++;
        }while (v!=u);

    }
}
void solve(int N)
{
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    memset(Instack,0,sizeof(Instack));
    memset(num,0,sizeof(num));
    Index=scc=top=0;
    for (int i=1;i<=N;i++)
    {
        if (!DFN[i])
            Tarjan(i);
    }
}
void init()
{
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
int main()
{
    …………
}