梯度下降法及其Python实现

梯度下降法及其Python实现

基本介绍

梯度下降法(gradient descent),又名最速下降法(steepest descent)是求解无约束最优化问题最常用的方法,它是一种迭代方法,每一步主要的操作是求解目标函数的梯度向量,将当前位置的负梯度方向作为搜索方向。

梯度下降法特点:越接近目标值,步长越小,下降速度越慢。

下面将通过公式来说明梯度下降法。

建立模型为拟合函数 h(θ)

h(θ)=θ0+θ1x1+....+θnxn=j=0nθjxj

接下来的目标是将该函数通过样本的拟合出来,得到最佳的函数模型。因此构建损失函数 J(θ) (目的是通过求解 minJ(θ) ,得到在最优解下的 θ 向量),其中的每一项 hθ(xi)yi 都表示在已有的训练集上我们的拟合函数与 y 之间的残差,计算其平方损失函数作为我们构建的风险函数(这里采用最小二乘法构造损失函数,在逻辑回归中也可采用最大似然估计构造损失函数从而估计参数)。
minJ(θ)=12i=0m(hθ(xi)yi)2

要使得 J(θ) 最小,则对其 J(θ) 求导等于零。
θj:=θjJ(θ)θj

在处理以下步骤时,可以用批量梯度下降算法(BGD)与随机梯度下降算法(SGD)。

批量梯度下降算法(BGD)

单个特征 xi 的迭代如下:

θj:=θj+a(yihθ(xi))xij

a 为步长,如果太小,则找到函数最小值的速度就很慢,如果太大,则可能会错过最小值,而使得函数值发散。初始点不同,获得的最小值也不同,因此梯度下降求得的只是局部最小值。

多个特征的迭代如下:

repeat until convergence{

θj:=θj+ami=1(yihθ(xi))xij (for every j )

}

当上式收敛时则退出迭代,一开始设置一个具体参数,当前后两次迭代差值小于该参数时候结束迭代。

使用梯度下降法,越接近最小值时,下降速度越慢。计算批量梯度下降法时,计算每一个θ值都需要遍历计算所有样本,当数据量比较大时这是比较费时的计算。

随机梯度下降算法(SGD)

为解决数据量大的时批量梯度下降算法费时的困境。随机梯度下降算法,每次迭代只是考虑让该样本点的 J(θ) 趋向最小,而不管其他的样本点,这样算法会很快,但是收敛的过程会比较曲折,整体效果上,大多数时候它只能接近局部最优解,而无法真正达到局部最优解。该算法适合用于较大训练集的例子。

Loop{

​ for i=1 to m,{

θj:=θj+a(yihθ(xi))xij (for every j )

}

}

改进的随机梯度下降算法

为了避免迭代时系数出现周期性波动,同时让系数很快收敛,这里改进随机梯度下降算法。

1)在每次迭代时,调整更新步长 a 的值。随着迭代的进行, a 越来越小,这会缓解系数的高频波动。同时为了避免 a 随着迭代不断减小到接近于0,约束 a 一定大于一个稍微大点的常数项。

2)每次迭代,改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动,因为样本顺序的改变,使得每次迭代不再形成周期性。

算法应用和python实现

梯度下降法可以用于在前面提到的logistic回归分类器中,主要是求解模型中的cost函数,这里用泰坦尼克数据集进行演示,并且使用python中的sklearn库进行实现,代码如下:

import pandas
from sklearn.linear_model import LinearRegression, LogisticRegression
from sklearn.model_selection import KFold, cross_val_score
import numpy as np
titanic = pandas.read_csv('E:\TitanicData\Titanic\\train.csv')
# print(titanic.describe())
titanic['Age'] = titanic['Age'].fillna(titanic['Age'].mean())
# print(titanic.describe())
# print(titanic['Sex'].unique())
titanic.loc[titanic['Sex'] == 'male', 'Sex'] = 0
titanic.loc[titanic['Sex'] == 'female', 'Sex'] = 1
# print(titanic['Embarked'].unique())
titanic['Embarked'] = titanic['Embarked'].fillna('S')
titanic.loc[titanic['Embarked'] == 'S', 'Embarked'] = 0
titanic.loc[titanic['Embarked'] == 'C', 'Embarked'] = 1
titanic.loc[titanic['Embarked'] == 'Q', 'Embarked'] = 2
# print(titanic.columns)
predictors = ['Pclass', 'Sex', 'Age', 'SibSp', 'Parch', 'Fare', 'Embarked']
#开始线性回归预测
alg = LinearRegression()
X = titanic[predictors]
kf = KFold(n_splits=3)
prediction = []
for train, test in kf.split(X):
    x_train = titanic[predictors].iloc[train, :]
    y_train = titanic['Survived'].iloc[train]
    x_test = titanic[predictors].iloc[test, :]
    y_test = titanic['Survived'].iloc[test]
    alg.fit(x_train, y_train)
    test_prediction = alg.predict(x_test)
    prediction.append(test_prediction)
prediction = np.concatenate(prediction)
prediction[prediction > 0.5] = 1
prediction[prediction < 0.5] = 0
accuracy_linear = sum(prediction[prediction == titanic['Survived']])/len(prediction)  #查准率
#score1 = cross_val_score(alg, X, titanic['Survived'], cv=3).mean()
# cross_val_score是直接将算法得到的值与y_test进行对比算scoring
# 这个步骤错误,因为线性回归得到的是概率值,需要后期判别到{0,1}上,才能和原y_test的数据进行比较算accuracy,所以LinearRegression不适合做cross_val_score的estimator。

print(accuracy_linear, score1)
#开始逻辑回归预测
alh = LogisticRegression()
score = cross_val_score(alh, X, titanic['Survived'], cv=3).mean()
#logisticregression的算法结果直接是{0,1}两值,所以可以直接进行score比较算accuracy,所以这个alh适合这个estimator。
print(score)

梯度下降法及其Python实现_第1张图片

梯度下降法及其Python实现_第2张图片

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