除法取模逆元，扩展欧几里得，费马小定理[数学]

一、除法取模逆元

在算法设计中，常会遇到求 a/b mod m的计算，当a很大，或者b很大，使得a/b的值无法直接计算的时候，通常采用逆元的方法，化除法为乘法。（逆元的概念在离散数学中 有学习）

a/b mod m 等价计算为 a*k mod m (k是b的模m乘法逆元)

证明过程：

由于k是b的模m乘法逆元。 即 b*k mod m == 1

b*k = xm + 1

k = (xm+1) / b

则 a * k mod m = a * (xm + 1) / b mod m

 = a/b * (xm + 1) mod m

 = xa/b * m mod m + a / b mod m

 = a / b mod m

所以以上两式等价。

二、扩展欧几里得

欧几里得定理， gcd（a, b）用来求a，b的最大公约数。 gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd

扩展欧几里得定理:

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

c++描述：

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
    if(0 == b){
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int flag = x;
    x = y;
    y = flag - a/b * y;
}

通过扩展欧几里得定理，可以求出b的模m乘法逆元。

由于 b*k mod m == 1 所以 b*k + m*n == 1 即求解方程中的k即可得到逆元 即函数中的x就是其逆元。

三、费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）

如果求解 a / b mod m 求 b 的模m乘法逆元，若b ， m互质

则 k* b mod m = 1 且 b ^ (m-1) mod m = 1 所以 k* b = b ^ (m-1)

可直接得出b的模m乘法逆元为 b ^ (m-2)

在算法中常模1e9+7为质数，可用费马小定理转换。