『差分』BZOJ3043数列操作

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$

给定一个长度为n的数列{a1,a2…an}，每次可以选择一个区间[l,r]，使这个区间内的数都加一或者都减一。

问至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样,并求出在保证最少次数的前提下,最终得到的数列有多少种。

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

由于是区间修改，我们考虑将区间修改转化为单点修改。

那么我们可以将问题转化为：

• 我们另$b_i=a_i-a_{i-1},i\in [1,n+1]$,得到一个长度$n+1$的差分序列。
  每一次操作可以选择$l$和$r$满足$l<r$的前提下，对$b_l$加上$x$，$b_r$加上$-x$.$(x=\pm 1)$
• 第一问：至少要进行多少次修改才能满足于所有$b_2=b_3=...=b_n=0$.
• 第二问：在满足条件的情况下，有多少个不同的$b_1.$

那么，对于第一问来说，另$s_1={\sum }_{b_i>0}{b}_i,s_2={\sum }_{b_i<0}{b}_i$.那么若$s_1>s_2$,那么可以在每一个$s_2$加回0的时候顺带将$s_1$中的某一个位置减去$0$，那么还有$s_2-s_1$个位置需要操作，用差分数组的位置$b_1$和$b_{n+1}$进行操作即可。另一种情况同理，故答案为：$$\max (s_1,s_2)$$

对于第二问来说，问你有多少个$b_1$,因为有$|s_1-s_2|$次机会可以操作，第一个位置最少操作0次，最多操作$|s_1-s_2|$次，故答案为：$$|s_1-s_2|+1$$

代码如下:

#include  
#include 
#include 

#define int long long

using namespace std;
const int N = 200000;

int n, s1 = 0, s2 = 0; 
int a[N];

int read(void)
{
	int s = 0, w = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') w |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return w ? -s : s;
}

signed main(void)
{
	freopen("_.in","r",stdin);
	freopen("_.out","w",stdout);
	n = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) a[i] = read();
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		int t = a[i] - a[i-1];
		if (t >= 0) s1 += t;
		if (t < 0) s2 += -t;
	} 
	cout<<max(s1,s2)<<endl;
	if (s1 > s2) cout<<s1-s2+1<<endl;
	else cout<<s2-s1+1<<endl;
	return 0; 
}