『高斯消元·博弈论·贪心』[CQOI2013]新NIM游戏

题目描述

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。

两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。

可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。

拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。

可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。

第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。

从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？

如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

题解

根据$nim$游戏的相关定理：若当前石子数的$xor$值大于$0$有必胜策略；若石子数的$xor$值等于$0$则必败。

我们如果第一人如果要必胜，就必须要在第二个拿完石头以后所有的石头异或和不为$0$；显然如果在第一次拿完石头以后，如果存在某一个石头异或和为$0$，则第一个人必败。

因此我们就得到了第一个人的拿石头策略：在拿完石头以后，不会出现若干个石头异或为$0$的情况。

这就对应了一个线性基：能被其他石头异或后得到石头一定保证异或后为0，因此把这一堆石头去掉即可。这就对应可去掉在高斯消元中被削成全$0$的那些石头。

由于要取走的数量尽可能的小，在每一次的选取中选小的即可。

代码如下：

#include 

using namespace std;

int n, cnt = 0;
int a[10000];
int c[10000];

int main(void)
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i) 
	{
		cin>>a[i];
		c[i] = a[i];
	}
	for (int i=31;i>=0;--i)
	{
		int Max = 0, k = 0;
		for (int j=cnt+1;j<=n;++j) 
		    if ((a[j] >> i & 1) && c[j] > Max)
		        Max = c[j], k = j;
		if (Max == 0) continue;
		cnt ++;
		swap(a[cnt], a[k]);
		swap(c[cnt], c[k]);
		for (int j=1;j<=n;++j)
		    if ((a[j] >> i & 1) && j ^ cnt) 
		        a[j] ^= a[cnt];
		//挑选不拿走的石头数 尽可能大
	}
	long long ans = 0;
	for (int i=cnt+1;i<=n;++i) ans += c[i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}