李锐博恩
李锐博恩

傅里叶级数与线性时不变系统

目录

序言

回顾（手稿版）：

LTI对复指数信号的响应

系统函数（system function）

频率响应（frequency response）

LTI对傅里叶级数表示的周期信号的响应

 

序言

这篇文章终于来了，终于和前面所说的，一个信号如果可以由成谐波关系的复指数信号的线性组合表示，那么它作为LTI系统的输入，其输出应该有一个十分简单的形式。博文：线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（特征函数和特征值的概念）

通过傅里叶级数的学习，我们知道周期信号可以表示为成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么它作为LTI系统的输入，输出是什么样子的呢？这篇博文给出了解答！

博文：连续周期信号的傅里叶级数表示

博文：离散周期信号的傅里叶级数表示

作为理解离散周期信号的傅里叶级数表示的辅助，可以阅读博文：离散时间复指数序列的周期性质，这篇博文能帮助你对离散时间复指数序列有一个清晰的认识！

下面正式进入今天的主题：傅里叶级数和线性时不变系统！

回顾（手稿版）：

LTI对复指数信号的响应

傅里叶级数与线性时不变系统_第1张图片

这部分回顾来自于博文：LTI对复指数信号的响应

系统函数（system function）

当s或z为一般复数时，H(s)和H(z)就称为线性时不变系统的系统函数。

 

频率响应（frequency response）

傅里叶级数与线性时不变系统_第2张图片

傅里叶级数与线性时不变系统_第3张图片

LTI对傅里叶级数表示的周期信号的响应

傅里叶级数与线性时不变系统_第4张图片

由此可见，周期信号用傅里叶级数表示，表示成了成谐波关系的复指数信号的线性组合，经过LTI，其 输出同样也是这些复指数信号的线性组合，不同的仅仅是系数发生了变化，所以y(t)也是周期的，且与x(t)有相同的基波频率。且有如下重要结论：

若\left \{ a_{k} \right \}是输入x(t)的一组傅里叶级数系数，那么{a_{k}H(jkw_{0})}就是输出y(t)的一组傅里叶级数系数；

也就是说，线性时不变系统的作用就是通过乘以响应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。

傅里叶级数与线性时不变系统_第5张图片

 

 

 

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