卷积的理解

之前，习惯把记录和总结的知识点放到云笔记上，但发现CSDN这个博客注册好久了，但却没有往上面放文章，所以决定把以前的笔记整理一下，放到这里来，以便交流学习。

关于信号的卷积

最初认识卷积来源于《信号与系统》这门课，到现在对这块还是逻辑上认可，直观上迷茫的状态，重新学习一下，简单总结如下：

还是从《信号与系统》里的知识开始讲起，单位冲激信号 δ(n) 仅在 n =0时，取得值1，其他位置皆为0。 δ(n) 是一类最简单的信号，我们可以将任意一个复杂的信号分解为多个类似 δ(n) 这样简单的信号。例如，对于一个任意的离散信号 x(n) ，如下图(a)所示，当 n=k 时，其取值为 x(k) ，用单位冲激信号来表示的话，可写为：

x(k)=x(k)δ(n−k)=x(n)δ(n−k)

式中， δ(n−k) 表示单位冲激信号的延时，如图b。这样，将 s(n) 与 δ(n−k) 相乘之后，所得到的的信号除了在 n=k 处取值为 x(k) 而不为零外，其他各点均为零。

如果重复对 x(n) 和 δ(n−m) 相乘，其中m是另一个延时( m≠k )，则所得到的的信号仅在 n=m 时不为零，其值为 x(m) ，而在其余各处均为零。这说明，信号 x(n) 与单位冲激信号的某个延时 δ(n−m) 相乘，实际上就是将信号 x(n) 在 n=m 处的单个值 x(m) 挑选出来。因此，如果在所有可能的延时处，即 −∞<m<∞ ，都重复这样的动作，然后把得到的结果相加，即可得到 x(n) 的另外一种表达式：

x(n)=∑m=−∞∞x(m)δ(n−m)

这样，就将任意的一个信号分解为多个冲激信号的叠加。

单位冲激响应是输入信号为单位冲激信号 δ(n) 时所对应的系统输出，常用 h(n) 来表示。对于线程时不变系统，如果知道了单位冲激信号的输出，根据叠加定理，就可知道任意复杂信号的输出。可得：

y(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)

上式就是即为线性卷积，通常称为卷积，可以简写为： y(n)=x(n)∗h(n)

对于连续信号，同理，任意信号可用冲激信号的组合表示，由冲激响应 h(t) 可得：

y(t)=∫∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ

卷积方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和。

数学上的卷积

卷积是分析数学中一种重要的运算。设： f(x),g(x)是R 上的两个可积函数，作积分：

∫∞−∞f(τ)g(x−τ)dτ

可以证明，对于所有 x∈(−∞,+∞) ，上述积分都是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数 h(x) ，称为函数 f 与 g 的卷积，记为 h(x)=(f∗g)(x) 。可以验证 (g∗f)(x)=(f∗g)(x) ，且 h(x) 仍为可积函数。

在泛函分析中，卷积是通过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。

图示两个方形脉冲波的卷积。其中函数” g ”首先对 τ=0 翻转，接着平移” t ”，成为 g(t−τ) 。那么重叠部分的面积就相当于” t ”处的卷积，其中横坐标代表待变量 τ 以及新函数 f∗g 的自变量” t ”。

图示方形脉冲波和指数衰退的脉冲波的卷积（后者可能出现于RC电路中），同样地重叠部分面积就相当于” t ”处的卷积。注意到因为” g ”是对称的，所以在这两张图中，反射并不会改变它的形状。

上图中，第一行分别代表两个函数 f(t) 和 g(t) 。将两个函数都用 τ 来表示，从而得到了 f(τ) 和 g(τ) 。将函数 g(τ) 关于 τ=0 翻转，得到 g(−τ) ，然后将 g(−τ) 平移 t 个单位，得到 g(t−τ) ，对应第二行图像。由于 t 为非常数(实际上是时间变量)，当时间变量(以下简称“时移”)取不同值时， g(t−τ) 能沿着 τ 轴“滑动“，第三四五行可理解为“滑动”。让t从 −∞ 滑动到 +∞ 。两函数交会时，交会范围中两函数乘积的积分值即为 f(x) 和 g(x) 的卷积。换句话说，计算一个滑动的的加权平均值。也就是使用 g(−τ) 当做加权函数，来对 f(τ) 取加权平均值。

如何通俗易懂的理解卷积

知乎里面有一个关于如何理解卷积的话题，如何通俗易懂的理解卷积。

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