三集合容斥原理问题

1、三个集合的容斥关系公式
　　A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
2、三个集合的容斥关系(三元)
　　例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?
　　(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)
　　(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)
　　(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)
　　(4) T三项都参与的人数。
　　这里介绍一下A、B、T分别是什么：
　　A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
　　B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)
　　T=全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分T。
　　例题通过公式有如下解法：
　　(1) A+B+T=100;
　　(2) A+2B+3T=55+65+70=190
　　(3) B+3T=31+40+25=96
　　实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。 即得到答案T=100+96-190=6
3、三元容斥公式应用实例
　　三元容斥涉及的对象比较多。我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。本小节先对一般情况的题目做一些分析。
　　例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】
　　A.15 B.16 C.14 D.18
      解析】参考答案为B。 这就是典型的容斥原理图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式
       (1) A+B+T=290
　　(2) A+2B+3T=64+180+160=404
　　(3) B+3T=24+70+36=130
　　则组合这些表达式就会得到：(1)+(3)-(2)=T=290+130-404=16 故答案是16
　　例：某市对52种建筑防水卷材产品质量抽检，其中8种产品的低温度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?【11国考】
　　A.37 B.36 C.35 D.34
　　【解析】参考答案D。 这个题目很有意思，他把我们传统做容斥原理的习惯思维颠覆了一下。通常我们都是根据已知条件 多少合格的人后求多少不合格的。那么这里我们也可以把公式所代表的含义颠倒过来用，A表示至少有一项不合格，B表示至少有2项不合格，T表示三项都不合格。根据公式:
　　(1) A+2B+3T=8+10+9=27;
　　(2) B=7;
　　(3) T=1.
　　可得到A+B+T=27-B-2T=27-7-2=18. 因此合格的有52-18=34.
　　例：甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出了其中的12道题，每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比容易题多()题?
　　A.6 B.5 C.4 D.3
　【解析】参考答案C。 稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的A所表示的;中等题目是只重叠过1次，也就是公式当中的B，简单题则是公式当中的T。
　　(1)A+B+T=20
　　(2)A+2B+3T=12×3=36
　　要求解的是A-T=?;通过上述两个表达式变型可得到：(1)×2-(2)=A-T=20×2-36=4.
　　如果不知道怎么变型求解。可以利用我们上面讲的代入消去法去做，令B=0, 则可把三元变为2元。即 T=8，A=12. 即A-T=4.