MOSSE

            MOSSE（Minimum Output Sum of Squared Error filter）是将相关滤波引入视觉跟踪领域的开创性文章，后续有很多跟踪算法基于相关滤波，在本文对MOSSE相关原理做详细介绍，便于后续理解其他相关滤波算法，本文涉及公式推导的详细过程，便于加深对相关滤波的理解。

motivation——相关性定义

两个信号 f f 和 i i 在时刻 τ τ 的相关性(correlation)(即：在时刻 τ τ 的相似程度)在信号处理学中定义为：

(f⊗i)(τ)=∫∞−∞f∗(t)i(t+τ)dt ( f ⊗ i ) ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ∗ ( t ) i ( t + τ ) d t

离散形式为：

(f⊗i)(n)=∑−∞∞f∗[m]i(m+n) ( f ⊗ i ) ( n ) = ∑ − ∞ ∞ f ∗ [ m ] i ( m + n )

迁移——与跟踪任务相结合

            在object tracking中引入correlation filter，的基本思路是：用初始帧中的目标训练跟踪器(也就是correlation filter)，得到参数矩阵h（后文会做详细解释），在下一帧中通过下式计算得到g，目标bounding box的确定规则：the location corresponding to the maximum value in the correlation output indicates the new position of the target，也就是说输出矩阵g中的最大值对应着目标在下一帧的位置。

g=f⊗h g = f ⊗ h

根据 卷积定理，上式可写成如下形式：

G=F⊙H∗ G = F ⊙ H ∗

其中： F=F(f) F = F ( f )   f:输入图像的特征矩阵
                H=F(h) H = F ( h )   h：tracker的参数矩阵
                ⊙ ⊙ :Element-wise multiplication
                ⊗ ⊗ :卷积
                 ∗ ∗    :The complex conjugate
而在跟踪中，主要是计算H：滤波器参数矩阵，H可以通过下式计算得到：

H∗=GF H ∗ = G F

最小二乘法的引入

理想情况下是，实际上H为目标本身的特征，但是该方法在实际应用中是行不通的，由于下一帧的目标和当前帧的目标特征矩阵不可能完全相同，因此，为了提高跟踪器的鲁棒性，采用最小二乘模型，即MOSSE，因此，H自然成为滤波器参数矩阵(此处的h的含义是在最小二乘中的含义，是更上层的含义，与直观的目标本身的特征不同，它代表的是与待跟踪目标最相似的群体的特征的集合的综合表示，可以这么理解，整数表示所用整数型数字的集合，集合中的数字，相当于特定的目标特征矩阵，而整数代表H参数模型)，引入MOSSE模型如下，尽可能使预测的结果矩阵和标签矩阵接近：

mH∗in∑i|Fi⊙H∗−Gi|2 m H ∗ i n ∑ i | F i ⊙ H ∗ − G i | 2

通过元素级别的计算来优化H

引用作者原文中的解释：MOSSE finds a filter H that minimizes the sum of squared error between the actual output of the convolution and the desired output of the convolution.
由于上式均为元素级别的运算，因此，可通过分别计算H的每个元素 Hwv H w v 来优化H，下式与上式等价：

mH∗in∑i|FwviH∗wv−Gwvi|2 m H ∗ i n ∑ i | F w v i H w v ∗ − G w v i | 2

其中：i:第i个训练样本；
               

Fwvi F w v i

:第i个训练样本特征矩阵的w行v列的元素，是一个标量；
               

Hwv H w v

:参数矩阵的w行v列的元素，是一个标量，由于参数矩阵是从m个样本中训练出来的，因此，参数矩阵只有一个。
               

Gwvi G w v i

:第i个训练样本的标签矩阵（此处与KCF中略有不同）的w行v列的元素，是一个标量；
因此，以下求导都是常量(涉及到复数)求导

0=∂∂H∗wv∑i=1m|FwviH∗wv−Gwvi|2=∂∂H∗wv∑i=1m[(FwviH∗wv−Gwvi)(FwviH∗wv−Gwvi)∗]=∂∂H∗wv∑i=1m[(FwviH∗wv)(FwviH∗wv)∗−FwviH∗wvG∗wvi−Gwvi(FwviH∗wv)∗+GwviG∗wvi]=∂∂H∗wv∑i=1m(FwviH∗wvHwvF∗wvi−FwviH∗wvG∗wvi−GwviHwvF∗wvi+GwviG∗wvi)=∑i=1m(FwviHwvF∗wvi−FwviG∗wvi)(86)(87)(88)(89)(90) (86) 0 = ∂ ∂ H w v ∗ ∑ i = 1 m | F w v i H w v ∗ − G w v i | 2 (87) = ∂ ∂ H w v ∗ ∑ i = 1 m [ ( F w v i H w v ∗ − G w v i ) ( F w v i H w v ∗ − G w v i ) ∗ ] (88) = ∂ ∂ H w v ∗ ∑ i = 1 m [ ( F w v i H w v ∗ ) ( F w v i H w v ∗ ) ∗ − F w v i H w v ∗ G w v i ∗ − G w v i ( F w v i H w v ∗ ) ∗ + G w v i G w v i ∗ ] (89) = ∂ ∂ H w v ∗ ∑ i = 1 m ( F w v i H w v ∗ H w v F w v i ∗ − F w v i H w v ∗ G w v i ∗ − G w v i H w v F w v i ∗ + G w v i G w v i ∗ ) (90) = ∑ i = 1 m ( F w v i H w v F w v i ∗ − F w v i G w v i ∗ )

解得：

Hwv=∑iFwviG∗wvi∑iFwviF∗wvi H w v = ∑ i F w v i G w v i ∗ ∑ i F w v i F w v i ∗

H=∑iFwv⊙G∗wv∑iFwv⊙F∗wv H = ∑ i F w v ⊙ G w v ∗ ∑ i F w v ⊙ F w v ∗

这个式子似乎有一定的规律：the numerator is the correlation between the input and the desired output and the denominator is the energy spectrum of the input.

正则项的添加

学习率更新规则