整数划分问题【递归以及递推求解方式】

简述

先写递归，有了递归之后，就换用递推来加快速度。

算法思路

• q(n, m)表示，n这个整数被划分，其中最大可能整数是m的所有划分情况数目。明显，所求，即为q(n,n)
• 当m>n时，明显有 q(n, m) = q(n, n)。因为，保证了所有整数都必须是大于等于1的。所以，限制再高的上限都没有任何的意义。
• 当m=n时候，明显有两种划分，第一种就是全部拿走，另一种就是不全部拿走。即，q(n,n) = 1+q(n, n-1)。
• 当m时候，同之前的方法类似。要么是不拿走当前最大值的可能，要么就是拿走最大值的。即，q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m)

为什么需要考虑后面的两种分开，主要是为了避免n==0 (n-m == 0)的时候需要求解。

代码

递归：

#include 
using namespace std;


int cal(int n, int m){
    if (n==1||m==1) return 1;
    if (m > n) return cal(n, n);
    if (n==m) return 1 + cal(n, m-1);
    return cal(n-m, m) + cal(n, m-1);   
}

int main(){
    int n;
    while(cin >> n && n >= 1)
        cout << cal(n, n)<< endl;
}

递推：

#include 
using namespace std;


unsigned int** arr;

void cal(int n){
    arr = new unsigned*[n+1];
    for (int i = 0; i <= n; ++i) arr[i] = new unsigned[n+1];

    for (int i = 1; i <= n; ++i) arr[i][1] = 1; // max number equal to  1
    // arr[i][j] 表示i这个数被划分时，最大可能的数为j的所有可能。
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 2; j <= n; ++j)
            if (i < j) arr[i][j] = arr[i][i];
            else if (i == j) arr[i][j] = 1 + arr[i][j-1];
            else arr[i][j] = arr[i][j-1] + arr[i-j][j]; 

    cout << arr[n][n]<< endl;

    for (int i = 0; i <= n; ++i) delete []arr[i];
    delete [] arr;
}

int main(){
    int n;
    while(cin >> n && n >= 1)
        cal(n);
}