[BestCoder Round #68][HDU5608]function

题目大意

已知函数 f(x) 满足：

n2−3n+2=∑d|nf(d)

给定 n ，请计算 ∑ni=1f(i) 对 109+7 的结果。
一个测试点有 T 组数据。

T≤500,n≤109 ，只有五组数据的 n>106

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题目分析

设 G(x)=x2−3x+2 ，由题意得 f 函数和 1 函数的狄利克雷卷积是 G 函数。
考虑使用杜教筛套路，设 S(n)=∑ni=1f(i) ：

S(n)=∑i=1nG(i)−∑i=2nS(⌊ni⌋)

其中 G(i) 的前缀和使用数列求和公式直接得到，后面的分块。
直接计算的时间复杂度是 O(n34) 的，会T掉。
考虑算出小于等于 X 的部分，对后面的使用杜教筛。怎么计算前面的部分呢？
对 G(n)=∑d|nf(d) 使用莫比乌斯反演，得到 f(n)=∑d|nμ(nd)G(d) 。这个显然可以像埃拉托色尼筛法一样，枚举 μ(i) 然后计算其对所有 i 的倍数的 f 的贡献。时间复杂度是 O(XlogX) 的。
X 取 n23 的话时间复杂度是 O(n23logn23+Tn23) 的。当然你也可以玄学调整 X 的大小，单组询问的话将 log 视作 14 次方，求导得到 X 最优是 n47 。

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代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int P=1000000007;
const int L=1000000;
const int MAXN=31622;

int pri[L+50],mu[L+50],f[L+50],sum[L+50];
bool mark[L+50];
bool vis[MAXN];
int S[MAXN];
int itwo,isix,T,N,s,l;

int quick_power(int x,int y)
{
    int ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;
    return ret;
}

void pre()
{
    mark[1]=1,mu[1]=1,f[1]=1;
    for (int i=1;i<=L;++i)
    {
        if (!mark[i]) f[pri[++pri[0]]=i]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,k;j<=pri[0];++j)
        {
            if (1ll*pri[j]*i>L) break;
            mark[k=pri[j]*i]=1,f[k]=pri[j];
            mu[k]=f[k]==f[i]?0:-mu[i];
            if (!(i%pri[j])) break;
        }
    }
    for (int i=1;i<=L;++i)
    {
        for (int j=1;i*j<=L;++j)
            (((sum[i*j]+=mu[j]*((1ll*i*i-3*i+2)%P))%=P)+=P)%=P;
        (sum[i]+=sum[i-1])%=P;
    }
}

int id(int x){return N/x;}

int sieve(int n)
{
    if (n<=L) return sum[n];
    int idn=id(n);
    if (vis[idn]) return S[idn];
    int res=((1ll*n*(n+1)%P*((n*2+1)%P)%P*isix%P-1ll*n*(n+1)%P*3%P*itwo%P)%P+n*2%P)%P;
    for (int st=2,en,x;st<=n;st=en)
    {
        x=n/st,en=n/x+1;
        res=(res-1ll*sieve(x)*(en-st)%P+P)%P;
    }
    return vis[idn]=1,S[idn]=res;
}

int main()
{
    itwo=quick_power(2,P-2),isix=quick_power(6,P-2),pre();
    freopen("function.in","r",stdin),freopen("function.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&T);T--;scanf("%d",&N),memset(vis,0,sizeof vis),s=trunc(sqrt(N)),printf("%d\n",sieve(N)));
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}