计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（3. 1D射影几何）)

1.5 1D射影几何

直线射影几何$I{P}^1$和平面射影几何$I{P}^2$的推导几乎一致：

• 直线点 ： $(x_1,x_2{)}^T$，用$\bar{\mathbf{x}}$来表示该二维向量；
• 理想点 ：$(x_1,0{)}^T$；
• 直线的射影变换为：${\bar{\mathbf{x}}}^{\prime }=H_{2\times 2}\bar{\mathbf{x}}$

其中$2\times 2$齐次矩阵 $H_{2\times 2}$为射影变换矩阵。矩阵四元素减去一个缩放因子，所以有三个自由度。每对点提供一个约束条件，因此三组对应点可以确定直线射影变换矩阵$H_{2\times 2}$；

交比：
交比是$I{P}^1$的基本射影不变量，给定4个点$\overline{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}$,交比的定义如下：

其中：

交点的主要性质：

• 交比的值与个点$\overline{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}$所用的具体齐次表示无关，因为分子分母的缩放因子将进行抵消；
• 如果每一点$\overline{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}$都是有限点，并在齐次表示中均选择$x_2=1$,那么$|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}|$就表示有${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$到${\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}$的带符号的距离。
• 如果点${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$中有一个理想点，交比的定义仍然有效。
• 在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如果有${\bar{\mathbf{x}}}^{\prime }=H_{2\times 2}\bar{\mathbf{x}}$，则：
  $$Cross({\bar{\mathbf{x}}}_1^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_2^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_3^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_4^{\prime })=Cross({\bar{\mathbf{x}}}_1,{\bar{\mathbf{x}}}_2,{\bar{\mathbf{x}}}_3,{\bar{\mathbf{x}}}_4)$$

共点线： 共点线是直线上共线点的对偶。这意味着平面上的共点线也有几何$I{P}^1$。特别是任何四条共点线都有一个确定的交比。

由于《计算机视觉中的多视图几何》一书中在第0篇中引入了较多的概念和推导，将有利于自己对后文的理解，于是博主第0篇的笔记会写的详细一些，这样条理更清楚，也有利于后期返回来查相关概念和推导。

参考资料:

1、《计算机视觉中的多视图几何》