数论四大定理

介绍一下数论四大定理：

数论四大定理：


1.威尔逊定理
当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )
或者说若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除


2.欧拉定理
欧拉定理，也称费马-欧拉定理
若n,a为正整数，且n,a互质，即gcd(a,n) = 1，则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)


φ(n) 是欧拉函数
欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目  
即欧拉函数是求 （小于n的数 ）中 （与n互质的数 ）的数目
或者说
  欧拉函数是求 1到n-1 中 与n互质的数 的数目
 
如果n是质数
那么1到n-1所有数都是与n互质的，
所以φ(n) = n-1
如果n是合数。。。自己算吧
例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质


顺便一提，这是欧拉定理
φ(n)是欧拉函数
还有一个欧拉公式
eix = cosx + isinx
把x用π带进去，变成
eiπ= -1
大部分人写成 eiπ + 1 = 0

欧拉函数代码可看：欧拉函数模板

3.孙子定理（中国剩余定理）
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 (S)有解。

并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1,m2,... ,mn的乘积，并设

 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设这个就是逆元了，则

通解形式为

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

 

代码可看： 中国剩余定理模板

4.费马小定理
假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

或者说，若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

顺便提一下,费马大定理:当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解