数论四大定理

介绍一下数论四大定理:

数论四大定理:


1.威尔逊定理
当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )
或者说若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除


2.欧拉定理
欧拉定理,也称费马-欧拉定理
若n,a为正整数,且n,a互质,即gcd(a,n) = 1,则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)


φ(n) 是欧拉函数
欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目  
即欧拉函数是求 (小于n的数 )中 (与n互质的数 )的数目
或者说
  欧拉函数是求 1到n-1 中 与n互质的数 的数目
 
如果n是质数
那么1到n-1所有数都是与n互质的,
所以φ(n) = n-1
如果n是合数。。。自己算吧
例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质


顺便一提,这是欧拉定理
φ(n)是欧拉函数
还有一个欧拉公式
eix = cosx + isinx
把x用π带进去,变成
eiπ= -1
大部分人写成 eiπ + 1 = 0


欧拉函数代码可看:欧拉函数模板


3.孙子定理(中国剩余定理)
用现代数学的语言来说明的话,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:

中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组 (S)有解。

并且通解可以用如下方式构造得到:

是整数m1,m2,... ,mn的乘积,并设

 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

这个就是逆元了,则

通解形式为


在模M的意义下,方程组(S)只有一个解:

 

代码可看: 中国剩余定理模板


4.费马小定理
假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。

或者说,若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

顺便提一下,费马大定理:当整数n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解


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