（组合游戏）SG函数与SG定理详解

前言

  好久没写博客了，上一篇博客还是去年实训写的，一是因为寒假，二是因为随着难度的加深，学一个算法的时间也变长了很多（蒟蒻专有buff）。当然，最重要的还是因为自己懒～

  后面会继续努力的。（这csdn的markdown编辑器又改版了越来越难用了）

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转载请注明转自bestsort的博客

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好了，进入主题，说一下SG函数和SG定理吧

什么是组合游戏

在竞赛中，组合游戏的题目一般有以下特点

1. 题目描述一般为$A$,$B$ 2人做游戏
2. $A$ $B$交替进行某种游戏规定的操作，每操作一次，选手可以在有限的操作（操作必须合法）集合中任选一种。
3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的操作集合只取决于这个局面本身，不取决于其它因素（跟选手，以前的所有操作无关）
4. 如果当前选手无法进行合法的操作，则为负

举个例子现在有一个数0,小明小红2人每次可以轮流在当前数加 1~3，谁先凑到21谁就赢

这个描述就符合上面的条件：

• 小明小红（满足1）
• 每次轮流在当前数上加1～3（满足2）
• 当前能进行的操作只取决于这个数本身（也就是这个局面），如果这个数为20,可操作的集合为+{1}，如果为12,可操作的集合为+{1,2,3}（满足3）
• 如果数字已经为21了,则不可能往上在加数字，可操作集合为$\Phi$，当前选手为负（满足4）

必胜点和必败点的概念

• 必败点(P点) 前一个(previous player)选手将取胜的点称为必败点
• 必胜点(N点) 下一个(next player)选手将取胜的点称为必胜点

比如现在数字已经为18了，那么当前操作人只要给数字+3则必胜，我们就把在此位置称为必胜点（正常操作情况下，别杠说都18偏要+2。。。。）
必胜点和必败点的性质：
- 所有的终结点都是必败点
- 从任何必胜点操作，至少有一种方式进入必败点
- 无论如何操作， 从必败点都只能进入必胜点.

Sprague-Grundy(SG)定理

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。

Nim和 ： 各个数相异或的结果

SG函数

先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 $S$是 $x$ 后继状态的$SG$函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 $SG(a),SG(b),SG(c)$，那么$SG(x)=mex${$SG(a$,$SG(b)$,$SG(c)$}。 这样 集合$S$ 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 $SG(x)=0$,当且仅当 x 为必败点P时。

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取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推…

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…

SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
模板如下：

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

其实不难发现，Nim游戏就是一个很典型的用SG定理解决的问题，因为Nim游戏在一堆n个石子中可以取1-n个石子，所以单独这一堆石子的SG值为$mex（n-1,n-2,n-3,...,n-n）=n$，根据SG定理，每一堆石子总数相互异或即为答案

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本文是参考其他博文+自己理解，整理而来，现附上参考博文链接：
https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495
https://blog.csdn.net/SM_545/article/details/77340690