百科—最短路

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最短路问题(short-path problem):若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

基本信息

• 中文名称

  最短路问题

• 外文名称

  short-path problem

 

• 解决算法

  Floyd-Warshall算法

• 实现方式

  广度优先搜索、深度优先搜索

目录	1 单源最短路径	2 全局最短路径	3 两点最短路径

折叠编辑本段单源最短路径

包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题(与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。) 。求解单源最短路径问题可以采用Dijkstra算法，时间复杂度为O(|V|^2)。Dijkstra算法可以使用斐波那契堆、配对堆等支持Decrease-Key操作的数据结构来进一步优化，优化后的时间复杂度为O(|E|+|V|log|V|)。

折叠编辑本段全局最短路径

求图中所有的最短路径可以采用Floyd-Warshall算法，算法时间复杂度为O(|V|^3)。如果图中有负权回路，可以采用Bellman-Ford算法，算法复杂度是O(|V||E|)。但Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，可用SPFA算法进行优化，SPFA算法是用队列进行的优化，优化后时间复杂度为O(k|E|)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，由此可见该优化的效果十分显著。

折叠编辑本段两点最短路径

即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。通常可以用广度优先搜索(BFS)、深度优先搜索(DFS)等方式来实现，时间复杂度是O(|V|)。

挑战程序设计竞赛dijk..代码：

int cost[max][max];//cost[u][v] 表示边e=(u,v)的权值

int d[max];//顶点s出发的最短距离
int used[max];//已经使用过的图
int v;//顶点数
void dijkstra(int s)
{
    fill (d,d+v,INT);
    fill (used,used+v,0);
    d[s]=0;
    while(1)
    {
        int v=-1;//从尚未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for(int u=0;u         {
            if(!used[u]&&(v==-1||d[u]                 v=u;
        }
        if(v=-1)
        {
            break;
        }
        for(int u=0;u         {
            d[u]=min (d[u],d[v]+cost[v][u]);
        }
    }
}

》》

学长模板：

void dijkstra (int u);
{
    memset(used,0,sizeof(used));
    memset(dis,INT,sizeof(dis));
    int pos=u;
    for(int i=0;i     {
        dis[i]=map[u][i];
    }
    dis[u]=0;
    used[u]=1;
    for(int i=1;i     {
        int min=INF;
        for(int j=0;j         {
            if(!used[j]&&dis[j]             {
                min=dis[j];
                pos=j;
            }
        }
        used[pos]=1;
        dis[pos]=min;
        for(int j=0;j         {
            if(!used[j]&&dis[j]>map[pos][j]+dis[pos])
            {
                dis[j]=map[pos][j]+dis[pos];
            }
        }
    }
}