如何推导欧拉公式e^iθ=cosθ+i*sinθ【转】

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相信大多数人都知道大名鼎鼎的数学最美的公式:{\color{Red} e^{i\pi }+1=0}

为什么说它是最美的呢?因为它包含了指数里最基本的e,复数里最基本的 i ,圆频率最基本的 π,以及自然数里最基本的0和1。

本质上这个公式是由 {\color{Red} e^{i\theta }=\cos\theta + i\sin \theta } 这个公式推导过来的,把θ换成π即可。

那么这个公式是如何得到的呢?可以使用高等数学里的幂级数展开,进而可以推导得出。

e^{ix}里的ix看成一个整体,根据麦克劳林展开式e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+...,把x换成ix代进去可以得到:

e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\frac{(ix)^{5}}{5!}+\frac{(ix)^{6}}{6!}+...

=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{ix^{5}}{5!}-\frac{x^{6}}{6!}+...

我们把不含 i 的放一边,含 i 的放在另一边,则可以得到:

e^{ix}=(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...)+ i (x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...)

=\cos x+i\sin x

所以得证。

(补充,为什么e^{ix}可以泰勒展开,这个需要证明,但此处忽略)

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