文法和内容
编译原理笔记第二部分，内容参考：北航软院教师邵兵课堂课件及内容、张莉著《编译原理及编译程序构造》、国防工业出版社的《编译原理——学习指导与典型题解析》、AlvinZH的学习笔记以及个人理解
目前是包含了全部内容的版本，后续会推出精简版和复习知识点版
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本章内容
2.1 形式语言基础
2.2 文法的非形式讨论
2.3 文法和语言的形式定义
2.4 语法树和二义性文法
2.5 句子的分析
2.6 有关文法的实用限制
2.7 文法的其他表示法
2.8 文法和语言分类
习题内知识
本章内容
重点：符号串、符号串集合的计算、文法、语言、递归、短语、句柄、语法树、文法的二义性、文法的使用限制、BNF表示文法、语法图、文法的分类。
2.1 形式语言基础
一、字母表和符号串
字母表：符号的非空有限集
符号：字母表中的元素
符号串：由符号拼接成的有穷序列
空符号串：没有任何符号的符号串
符号串的形式定义：
假设有一个字母表P：1.空符号串是P上的符号串；2.若x是P上的符号串，且a是字母表里的一个元素，则ax或xa（可以左，可以右，但只能一个不能同时加）是P上的符号串（一个符号也是符号串，a拼接ε）；3.y是P上的符号串，当且仅当（iff）y是符合1.和2.的符号串。
二、符号串和符号串集合的运算
1.符号串相等：若x、y是集合上的两个符号串，则x=yiff组成x的每一个符号和组成y的每一个符号依次相等。
2.符号串的长度：x是符号串，x的长度|x|等于组成器的符号个数。（空符号串长度为0）
3.符号串的联接：若x、y是定义在P上的符号串，则x和y的联接xy也是P上的符号串，符号串xy不等于yx，而空字符串无论在左还是右联接到一个符号串上都是一样的。εx=xε
4.符号串的幂运算：假设x是符号串，那么其幂运算就是自身的拼接，0次幂等于一个空符号串，n次幂既是自身重复n次
5.符号串集合的乘积运算：假设A、B是符号串集合，则AB就等于一个A集合中的符号在前联接B集合中的符号在后：
6.符号串集合的幂运算：假设有一个符号串集合A，则A的零次幂是一个仅包含空符号串的集合，n次幂则是n个A拼接得到的结果。计算A的n次幂时可以用A拼接A的n-1次幂来计算。
7.符号串集合的闭包运算：设A是符号串集合，则有：
A的正闭包：
A的闭包：
闭包只是比正闭包多了一个空符号串。
如何用符号得到一个程序：
A是某语言的基本字符串：
B是该语言的单词集：
则有B属于A的闭包，因为是从A的所有结果中提取出来的
而该语言的一个句子，即一条语句，也是一个在B上的符号串
令C是该语言的句子集合，则C也属于B的闭包，一个程序也属于C
2.2 文法的非形式讨论
文法：对语言结构的定义与描述，从形式上用于描述和规定语言结构，也称为语法。
语法规则：通过建立一组规则，来描述句子的语法结构，一般规定用“::=”的符号代替“由...组成”，一些基本的语法结构如下：
利用规则推导句子：有了规则后便可按照一定的方式用他们来推导或产生句子，方法如下：从一个要识别的符号开始推导，即用相应规则的右部来替代规则的左部，从左向右推导，每次使用一条规则进行推导。
例子：
推导直到所有的非终结符号被终结符号代替为止。
这种推导称为最左推导，除了这种还有最右推导
观感上就没有最左推导好了。
从一个<句子>推导出一个完整的句子的推导可以写成:
根据上述的介绍可知，文法只是在形式上对句子结构的定义与描述，而未涉及语义问题，因此可能出现一些大花生吃花生这种神奇的句子。
语法树：用树形描述一个句子的语法结构：
2.3 文法和语言的形式定义
2.3.1 文法的定义
定义：文法G=(Vn,Vt,P,Z)（grammar）
Vn：非终结符号集（nonterminal vocabulary）
Vt：终结符号集（V=Vn∪Vt，称为文法的字汇表）（terminal）
P：产生式或规则的集合（principle）
Z开始符号（识别符号）Z∈Vn
规则：一个有序对（U,x），通常写为U::=x或U→x（::=就等于→），其中U的长度为1，x的长度大于等于0。U∈Vn，x属于V的闭包。
例如一个无符号整数的文法：
G[<无符号整数>]=(Vn,Vt,P,Z)
Vn={<无符号整数>,<数字串>,<数字>}（规则左侧出现的，可以继续拆分的符号集）
Vt={0,1,2,3,...9}（剩余的，不能再继续拆分的符号集）
P={<无符号整数>→<数字串>
<数字串>→<数字串><数字>
<数字串>→<数字>
<数字>→0
...
<数字>→9}（可拆分的符号集的变化规则）
Z=<无符号整数>（开始进行拆分的符号）
通常用尖括号把非终结符号括起来，以便和终结符号进行区分，其实非终结符号也不必有尖括号。
产生式（P内的元素）左边的符号会构成集合Vn，且Z∈Vn
当产生式有相同的左部时可以合在一起，用或符号|划分开
如上既是文法的BNF表示（巴克斯范式）
给定一个文法，实际只需给出一个产生式的集合，并指定最开始的识别符号即可（一般约定为第一条规则的左侧符号）
文法：
::=、|、<和>称为元符号（未扩展的元符号，在2.7节中会介绍扩展的元符号），由元符号构成的语言称为元语言，即可以用于描述其他语言的语言。
2.3.2 推导的形式定义
定义：直接推导：文法G：v=xUy，w=xuy（零步推导）
其中x、y∈V*（x、y是非终结符或者终结符或者空），U属于Vn（非终结符），u属于V*
若（U::=u）∈P，则v可根据文法G推导出w，v可推导出w，w直接归约到v（::=等于→）
若x=y=空符号串，有U::=u，则U可根据文法G推导出u或者简写为U可推导出u（G可以省略）
例：
定义：间接推导1：存在文法G，有U0，U1，...，Un属于V的正闭包
如果v=U0可以根据文法G中的两次或以上次推导出U1，然后根据G依次推导出到Un=w。（加号一定要有，是间接推导的象征）
则表示v可以根据文法G正推导出w：
这个序列称为n次推导
例：
定义：间接推导2：存在文法G，有v，w属于V的正闭包
如果v可以根据文法G正推导出w，或者v::=w，即在v可以根据G正推导出w时或v由w组成时：
（直接推导加上n次推导）
定义：规范推导：有xUy可推导出xuy，如果y属于Vt的闭包，则此推导是规范的，记为：
（最右侧需要有不变的，且不变的符号串要么只包含终结符号，要么为空）。
每个句子都有一个规范推导，并非每个句型都有规范推导，可由规范推导导出的句型称为规范句型。
结合多种推导符号：
最右推导：若符号串中有两个以上的非终结符时先推导右边的（规范推导）；最左即是先推导左边的。
2.3.3 语言的形式定义
定义：文法G[Z]
（1）句型：x是句型<=>Z可以闭包推导出x，且x属于V*（可以有非终结符，可以有终结符）
（2）句子：x是句子<=>Z可正闭包推导出x，且x属于Vt*（式语言的最小单位，是由终结符号所组成的符号串）
（3）语言：L(G[Z])={x|x∈Vt*,Z多步推导出x}，语言由所有的句子组成。
已知文法可以通过推导求出语言
已知语言构造文法时没有形式化的方法，文法和语言是多对一
例：
定义：这种两种不同文法对应的语言相同的文法，他们是等价文法
编译时关心的其实就是根据符号串和文法，判断符号串是否符合文法对应语言的规定。
2.3.4 递归文法
无穷种可能
1.递归规则：规则右部有与左部相同的符号
对U::=xUy，如果x是空符号串，即U::=Uy，既是左递归，左部未变；y是空符号串时U::=xU，右递归；当xy都不空，U::=xUy称为自嵌入。
若文法中至少包含有一条递归规则，则称该文法是直接递归的。
间接递归：有如下规则时：U::=Vx,V::=Uy|x，U也会得到自己。
2.递归文法：文法G，存在U∈Vn
如果U可正推导出...U...，则G是递归文法（自嵌入递归），如果可以正推导出U...，则G是左递归文法，如果...U，是右递归文法。
左的缺点：不能用自顶向下的方法进行语法分析，会造成死循环；
递归文法的优点：可用有穷条规则，定义无穷语言。（无符号整数的文法就是右递归文法，用13条规则便可定义所有的无符号整数）
2.3.5 句型的短语、简单短语和句柄
定义：短语和简单短语
一个文法G[Z]，w是该文法的句型：w=xuy（xy可为空，u不可为空）
如果文法可推导出xUy，（U是一个非终结符），U可多步推导出u，则u是句型w相对于U的短语（句型中能被其所在位置的非终结符推出的符号串）
（u属于V的正闭包，可以非终结符，可以终结符，不可以空，即使一个符号也可以是短语）
若U可直接推导出u，则u是句型w相对于U的简单短语（又称直接短语）。
定义：任一句型的最左简单短语称为该句型的句柄，句柄在自底向上的语法分析中很重要。
再次解释：
短语：将某句型转化为抽象语法树后，每一个有后继结点的结点的叶子结点组成的符号串，有意义的最小单位（可由识别符号推出的非终结符号推出）；
简单短语：转化为抽象树后，子结点中不能再推出其他式子的结点的叶节点组成的符号串；
句柄：最左的简单短语。
短语、简单短语都是相对于句型而言的，一个矩形可能有多个短语、简单短语，但句柄只能有一个。
2.4 语法树和二义性文法
树：除了根节点以外，每个叶节点只能有一个直接前驱；n个直接后继
语法树：句子结构的图示表示法，是一种有向图，由结点和有向边组成。
一个结点就是一个符号，根节点是识别符号（最开始的），中间结点是非终结符，叶节点可以是终结符或非终结符，有向边便是这结点间的派生关系，一般有向边默认从根节点指向子节点。
子树：以语法树中的某个结点为根节点到底生成的子语法树。
子树和短语：某子树的末端结点按自左向右顺序为句型中的符号串，则该符号串为该句型的相对于该子树根的短语（因为是由这子树根推出的）。
句型的推导和语法树的生成
给定一个G[Z]，句型w。可建立推导序列：Z可根据语法G推导出w时，便可建立语法树：以Z为树根结点，每步推导生成语法树的一枝。
注：文法能产生的句子，可以用不同的推导原则推导。语法树的生成规律不同，但最终生成的语法树形状相同，不是所有文法都有此性质。
语法树的推导有三种，一般推导：按深度进行推导；最左推导：首先推导最左侧的结点到终结符号；最右推导：先最右。
1.由推导构造语法树：
从识别符号开始，自右向左建立推导序列→由根结点开始，自上而下建立语法树。
2.由语法树构造推导
首先自下而上的修剪子树的末端节点，直到把整棵树剪掉，每剪一次对应一次规约：从句型开始，自左向右的逐步进行规约，便可建立推导序列，每一步都是归约当前句型的句柄。
定义：对句型中的句柄进行的规约称为规范规约（最左归约）。
定义：通过规范推导或规范规约所得到的句型称为规范句型
2.4.2 文法的二义性
定义：若对于一个文法的某一句子存在两颗不同的语法树，则该文法是二义性文法，否则是无二义性文法。
例：
他们的语法树也不同：
定义：若一个文法的某句子存在两个不同的规范推导，则该文法是二义性的。
除了以上的自顶向下判断文法二义性，还可以自底向上来看。例如在上例中：E+E*i是i+i*i通过两步规范规约得到的，但对于同一个句型E+E*i，他有两个不同的句柄（对应两棵不同的语法树：i和E+E）。因此语法的二义性意味着句型的句柄不唯一。
定义：若一个文法的某规范句型的句柄不唯一（有两个不用的规范归约），则该文法是二义性的。
编译时二义性会产生不确定性，而文法的二义性是不可判定的，所以无法在一个规定步数内判断一个文法是否有二义性。解决方法是提出限制条件，称为无二义性的充分条件，满足时便可判断某文法是无二义性的。
根据这个原则便可用两种方法解决：
1.根据条件修改编译算法：例如规定运算符的优先级来避免文法的二义性，不同优先级先看高的，同样优先级规定方向，这样在推导时就统一了。
2.根据条件直接修改文法：修改文法的规则后，直接限制归约的顺序。
2.5 句子的分析
当给定一个符号串S属于Vt的闭包，所要做的分析就是判断符号串S是否属于语法对应的语言。
2.6 有关文法的实用限制
在一个文法中，不能出现一些不应有的规则。
有害规则：例如有害规则：U::=U，这会引起二义性。
多余规则：
（1）推导文法的句子中，用不到的规则（该规则的左部非终结符不会出现在任何句型中）
（2）在推导句子的过程中，一旦使用了该规则，将推不出任何终结符号串的规则（该规则中含有推不出任何终结符号串的非终结符）。例如：当关于U的规则有且仅有U::=xUy，那就是多余的，因为无法推出终结符号串。
压缩文法：文法中没有有害规则或多余规则。
检查是否存在多余规则：需要检查文法中每一条规则左部的每个非终结符号U是否满足下述两个条件：
1.对所有的识别符号之外的非终结符号，这个非终结符号必须出现在某个句型中（右侧）
2.对所有的非终结符号，他必须能推导出终结符号串（终结符号组成的）
2.7 文法的其他表示法
1.扩充的BNF表示（Backus Normal Form）
BNF的元符号：<,>,::=,|
扩充的：<,>,::=,|,{,},[,],(,)
{}：右侧上m，下n，其中包含一个t，表示这个符号串t可以重复n到m次，mn都可省略，都省略后表示重复0到任意多次。内部也可以用|表示或
[]：表示内部的符号串可有可无，等于花括号包裹着符号串m是1，n是0
()：提取因子的符号，例如xy|xm|xn，可以写成x(y|m|n)
2.语法图（图形化）
2.8 文法和语言分类
形式语言：用文法和自动机所描述的没有语义的语言
语言定义：
文法定义：所有文法都可定义为一个四元组，即Vn，Vt，P，Z。
文法和语言分类：0型、1型、2型、3型，他们的去呗在于对产生式施加不同的限制。
0型：
规则P：u::=v，u属于V+需要有非终结符，v属于V*
L0，被称为短语结构文法，左部和右部都是符号串，左侧是至少包含一个Vn的符号串，右部为符号串（可为空），可以用图灵机接受。
1型：
规则P：xUy::=xuy，其中U属于Vn，x、y、u都属于V*
L1，这种语法规则被称为上下文敏感或上下文有关，也即只有在x、y这样的上下文中才能把U改写为u，可由一种线性界限的图灵自动机接受。
2型：
规则P：U::=u，其中U属于Vn，u属于V*
L2，称为上下文无关文法，即把U改写为u时不必考虑上下文，和BNF表示等价，可以由下推自动机接受。
3型：
规则P：U::=T或wT；U、w属于Vn，T是Vt。
L3，称为正则文法、正则语言、正则集合，注意左右线性不能同时出现，可以由有穷自动机接受。
根据描述：L3属于L2属于L1属于L0，范围更大的文法可以产生子文法，；例如2型文法可以产生L2型文法，L3型文法，不能产生L1型文法。
四种文法类型的关系及判断方法：
主要区别在于规定产生式的左边和右边的字符的组成规则不同。明确四种文法从0型到3型，其规则和约定越来越多，限制条件也越来越多，所以判断时应该先从最复杂的3型开始。
3型：（多的限制：右边最多两个字符，且只能有一种线性）
左边只有一个非终结符
右边最多有两个字符，两个时左非终结右终结，一个时必须终结（左非终结右终结是左线性的，左终结右非终结是右线性）
左右线性不能同时出现。
2型：（多的限制：左边需要只有一个非终结符）
左边只有一个非终结符
右边有若干个终结符和非终结符
1型：（多的限制：左边需要有非终结符）
左边至少需要含有一个非终结符
右边有若干个终结符和非终结符
左边推导右边时变化的部分左右两边内容不能变，变化后不能为空
0型：
左侧的符号串至少有一个非终结符
右侧随意
即只要能描述出来，就属于0型文法
习题内知识
语言的语法是用来形成一个合法程序的一组规则，这些规则的一部分是词法规则，另一部分是语法规则（又称产生规则）。
名字和标识符：名字都是由标识符组成的，标识符在不同语言中的规范不一样。他们在形式上难以区分，标识符是一个没有意义的字符串，名字则是有明确的意义和属性，且名字可看成是代表一个抽象的存储单元。
一个语言可由多个文法推导出
而一个文法仅可推导出一个语言。语言对文法：一对多
对于不同类型的文法，他们的规则是对所有的产生式起作用的，所以只需要找出一个不符合规则的，那么他就不属于这个类型的文法
当问一个文法的语言是什么时，如果是人类可以理解的，例如无符号整数，一个0-5数字组成的字符串。如果无法如此表述，则需要用一个集合来表示，集合的元素就是根据文法的规则得出的所有句子。
非终结符号的<>只是为了区分所用，不是必要加的，可以用其他形式来区分，例如非终结符用大写字母，终结符号用小写。
一些比较容易出现的题型有：根据语言得出对应的文法，根据文法描述出语言，判断文法类型，后续更新后会给出一些技巧的展示