伽罗瓦域(有限域)GFq^12上元素的1→2→4→12塔式扩张(1)------第一次扩张

伽罗瓦域是抽象代数下的域论分支中的内容，这部分想必很多人都比较熟悉，此处不再赘述。

最近，国密算法中的SM2和SM9已经成为国际标准，其中SM9算法在椭圆曲线离散对数难题的基础上，添加了若干个双线性配对难题来保证安全性。

配对的过程中，除去群G1中的元素与SM2算法一样在素域下之外，群G2中的元素为GFq²域，群G_T中的元素为GFq¹²域。

SM9算法大部分运算都在阔域中进行，而塔式扩张的意义在于将阔域中的元素用基域中的元素进行表示和计算。这里先按照塔式扩张的顺序(1→2→4→12)探讨一下阔域中的元素计算。

1.  （1）

塔式扩张中的（1），就是指基域。在SM9算法中，是素域Fq，其中q是256位BN曲线的基域特征值。

Fq域下的元素运算，与我们日常的加减乘除运算并无差异，略去不谈。

2.   (2)

塔式扩张中的（2），即域Fq²。这是从素域向二次域的第一次扩张，扩张公式如下：

Fq²[μ] = Fq[μ] /( μ² - α)， 其中，α = -2

即：该次扩张的即约多项式为 x² - α, α = -2

下面以具体的例子来说明该次扩张。

SM9规范第5部分中，群 G₂ 的生成元 P₂ = (x_P2, y_P2):
坐标 x_P2:( 85AEF3D0 78640C98 597B6027 B441A01F  F1DD2C19 0F5E93C4 54806C11  D8806141 ,  37227552 92130B08 D2AAB97F D34EC120 EE265948 D19C17AB F9B7213B AF82D65B  )

坐标 y_P2:( 17509B09 2E845C12 66BA0D26 2CBEE6ED 0736A96F A347C8BD 856DC76B 84EBEB96 ,   A7CF28D5 19BE3DA6 5F317015 3D278FF2  47EFBA98 A71A0811 6215BBA5 C999A7C7 ) 

此处，点P₂的x轴和y轴均为域Fq²下的元素，且高维在前，低维在后。

按照这种表示顺序，此处定义两个域Fq²下的元素：

X = (a, b)

Y = (c, d)

即：

X = a * μ¹ + b * μ⁰ = a * μ + b

Y = c * μ¹ + d * μ⁰ = c * μ + d

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加法和减法计算就是对应维度的数值在素域q下的加和减：

X + Y = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

X - Y = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)

 

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乘法：

X * Y = (a, b) * (c, d)

　　  = (a * μ + b) * (c * μ + d)

　　  = (a * c * μ² + (a * d + b * c)μ + b * d) mod ( μ² - α) 

　　  = -2 *a * c + (a * d + b * c)μ + b * d

　　  = (a * d + b * c)μ + (b * d - 2 * a * c)

即：

X * Y = (a, b) * (c, d) = (a * d + b * c , b * d - 2 * a * c)

其中，最终结果中的 * 运算均为素域q下的乘法运算。

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求逆：

计算 X^-1 = (a, b)^-1

假设结果为(x, y)

则有，(a, b) * (x, y) = (0, 1)

(0, 1)为域Fq²下的单位元，相当于素域q下的 1。

将上式展开

(a, b) * (x, y) = (a * y + b * x)μ + (b * y - 2 * a * x)

　　　　　　= (a * y + b * x  ,   b * y - 2 * a * x)  = (0, 1)

相当于求解二元一次方程。

a * y + b * x      = 0

b * y - 2 * a * x = 1

求解x和y的过程省去不说，可以得到求逆操作的结果为

X^-1 = (a , b)^-1 = ((-a) / (b² + 2 * a²) ,  b / (b² + 2 * a²))

其中相关元素与计算均在素域q下进行。

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带即约多项式值的乘法：

该乘法直接放在这里会有些突兀，后续篇幅会继续介绍第二次扩张和第三次扩张，到时会对此处设置该乘法一目了然，该乘法为：

X * Y * μ = (a * μ + b) * (c * μ + d) * μ

　　　　  = (a * c * μ³ + (a * d + b * c)μ² + b * d * μ) mod ( μ² - α) 

　　　　  = (a * c * μ * (-2) + (a * d + b * c) * (-2) + b * d * μ)

　　　　  = (b * d - 2 * a * c) * μ - 2 * (a * d + b * c)

即： 

X * Y * μ = (b * d - 2 * a * c  ，  - 2 * (a * d + b * c)）

 

以上便是塔式扩张的第一次扩张后的元素计算公式。

 

如上可知，扩张的实际作用是将阔域元素使用基域下的元素表示并按照基域下的运算规则进行运算。

SM9算法的群G2中的点加与倍点计算，虽然与SM2的素域下运算公式一致，但实际处理时，所有元素均按照上面的公式在域Fq²下进行。

 

后面再花两个篇幅探讨第二次扩张2→4和第三次扩张4→12，并推导4次阔域和12次阔域下的元素计算公式。

 

 

 

后续篇幅如下：

伽罗瓦域(有限域)GFq^12上元素的1→2→4→12塔式扩张(2)------第二次扩张