《趣学算法》作者又一力作上架，再分享您一篇算法复杂度

不知道读者们有没有看过陈小玉的《趣学算法》这本书，该书在出版后受到广大读者一致好评，在一年内重印了10次，并输出了繁体版的版权。不知道读过这本书的朋友们感觉第一本怎么样？欢迎留言给我们。接下来给读者们推荐一本此作者的新书：《趣学数据结构》，希望你喜欢

趣学数据结构

陈小玉 著

 

• 完美图解+丰富实例，复杂问题简单化
• 原理分析+实战演练，真正地学以致用
• 配套代码+在线答疑，为学习保驾护航

本书基于C++语言编写，从趣味故事引入算法复杂性计算及数据结构基础内容，涵盖线性结构、树形结构和图形结构，包括链表、栈和队列、树和图的应用等。本书内容还涉及数据结构的基本应用（包括各种查找、排序等）和高级应用（包括优先队列、并查集、B-树、B+树和红黑树等）。通过大量图解将抽象数据模型简单通俗化，语言表述浅显易懂，并结合有趣的实例帮助读者轻松掌握数据结构。

本书特色

本书具有五大特色。

（1）完美图解，通俗易懂。学习数据结构最好的办法就是画图、画图、画图。本书中的每一个基本操作和演示都有图解，有了图解，一切就都变得简单，迎刃而解。

（2）实例丰富，简单有趣。本书结合大量实例，讲述如何利用数据结构解决实际问题，使复杂难懂的问题变得简单有趣，给读者带来巨大的阅读乐趣，使读者在阅读中不知不觉地学会数据结构知识，体会数据结构的妙处。

（3）深入浅出，透析本质。本书采用简洁易懂的代码描述，抓住本质，通俗描述及注释使代码更加易懂。本书不仅对数据结构设计和操作描述全面细致，而且有复杂性分析过程。

（4）实战演练，循序渐进。本书在每一个数据结构讲解清楚后，进行实战演练，使读者在实战中体会数据结构的设计和操作，增强自信，从而提高了读者独立思考、自己动手实践的能力。丰富的练习题和思考题及时检验对所学知识的掌握情况，为读者从小问题出发，逐步解决大型复杂性问题奠定基础。

（5）网络资源，技术支持。本书为读者提供本书所有范例程序的源代码、练习题以及答案解析，这些源代码可以自由修改编译，以符合自己的需要。本书提供源代码执行、调试说明书，提供博客、QQ群技术支持，为读者答疑解惑。

本书内容

本书包括10章。

· 第1章是基础知识，介绍数据结构基础和算法复杂性的计算方法。

· 第2～5章是线性结构，讲解线性表、栈和队列、字符串、数组等的基本操作和应用。

· 第6章是树形结构，讲解树、二叉树、线索二叉树、树和森林以及树的经典应用。

· 第7章是图形结构，讲解图的存储、遍历以及图的经典应用。

· 第8～9章是数据结构的基本应用，讲解查找、排序的方法和算法复杂性比较。

· 第10章是高级数据结构及其应用，讲解优先队列、并查集、B-树、B+树、红黑树等。

本书的每一章中都有大量图解，并给出数据结构的基本操作，最后结合实例帮助读者巩固相关知识点，力求学以致用、举一反三。

样章试读：

1.2　算法复杂度

首先看一道某跨国公司的招聘试题。

写一个算法，求下面序列之和：

−1，1，−1，1，…，(−1)n

当你看到这个题目，你会怎么想？使用for语句或while循环？

先看算法1-1。

//算法1-1 
sum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
  sum=sum+pow(-1,n); //即(-1)^n

这段代码可以实现求和运算，但是为什么不这样算呢？

再看算法1-2。

//算法1-2
if(n%2==0)  //判断n是不是偶数，%表示求余数
  sum=0;
else
  sum=-1;

有的读者看到算法1-2后恍然大悟，原来可以这样啊！这不就是高斯那种将两个数结合成对的算法吗？

一共50对数，每对之和均为101，那么总和为：

(1+100) × 50＝5050

1787年，小高斯10岁，用了几分钟的时间算出了结果，而其他孩子却要算很长时间。

可以看出，算法1-1需要运行n次加法，如果n=10 000，就要运行10 000次，而算法1-2只需要运行1次！是不是有很大差别？

问：高斯的方法我也知道，但遇到类似的题还是……我用的笨办法也是算法吗？答：是算法。

算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。

算法只是对问题求解方法的一种描述，它不依赖于任何一种语言，可以用自然语言、C、C++、Java、Python等描述，也可以用流程图、框图来表示。为了更清楚地说明算法的本质，我们一般去除了计算机语言的语法规则和细节，采用“伪代码”来描述算法。“伪代码”介于自然语言和程序设计语言之间，它更符合人们的表达方式，容易理解，但不是严格的程序设计语言，如果要上机调试，则需要转换成标准的计算机程序设计语言才能运行。

算法具有以下特性。

（1）有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。

（2）确定性：每条语句有确定的含义，无歧义。

（3）可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算实现。

（4）输入和输出：有零个或多个输入，一个或多个输出。

问：嗯，第二种方法的确算得挺快的，但我写了一个算法，怎么知道它好不好？

“好”算法的标准如下。

（1）正确性：指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，并能够通过典型的软件测试，达到预期需求规格。

（2）易读性：算法遵循标识符命名规则，简洁、易懂，注释语句恰当、适量，方便自己和他人阅读，并便于后期调试和修改。

（3）健壮性：算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。例如，在学生信息管理系统中，登记学生年龄时，21岁误输入为210岁，系统应该提示出错。

（4）高效性：指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。算法时间复杂度就是算法运行需要的时间。现代计算机一秒能计算数亿次，因此不能用秒来具体计算算法消耗的时间。由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，我们可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。因此将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的度量标准。

（5）低存储性：指算法所需要的存储空间低。尤其是像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。算法占用的空间大小称为空间复杂度。

除了前3条基本标准外，我们对好的算法的评判标准就是高效性、低存储性。

问：前3条都好办，但时间复杂度怎么算呢？

时间复杂度：算法运行需要的时间，一般将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的度量标准。

看算法1-3，并分析这一算法的时间复杂度。

//算法1-3
sum=0;                       //运行1次
total=0;                     //运行1次
for(i=1;i<=n;i++)            //运行n+1次，最后依次判断条件不成立，结束
{
  sum=sum+i;                 //运行n次
  for(j=1;j<=n;j++)          //运行n*(n+1)次
    total=total+i*j;         //运行n*n次
}

把算法所有语句的运行次数加起来，即1+1+n+1+n+n×(n+1)+n×n，可以用一个函数T(n)表达：

 

看算法1-4，并分析算法的时间复杂度。

//算法1-4
i=1;                //运行1次
while(i<=n)         //可假设运行x次
{
  i=i*2;            //可假设运行x次
}

问题规模：即问题的大小，是指问题输入量的多少。一般来讲，算法的复杂度和问题规模有关，规模越大，复杂度越高。复杂度一般表示为关于问题规模的函数，如问题规模为n，时间复杂度渐进上界表示为О(f (n))。

语句频度：语句重复执行的次数。

在算法分析中，渐进复杂度是对算法运行次数的粗略估计，大致反映问题规模增长趋势，而不必精确计算算法的运行时间。在计算渐进时间复杂度时，可以只考虑对算法运行时间贡献大的语句，而忽略那些运算次数少的语句，循环语句中处在循环内层的语句往往是运行次数最多的，即语句频度最多的语句，该语句对运行时间贡献最大。比如，在算法1-3中，total=total+i*j是对算法贡献最大的语句，只计算该语句的运行次数即可。

注意：不是每个算法都能直接计算运行次数。

例如算法1-5，在a[n]数组中顺序查找x，返回其下标i，如果没找到，则返回−1。

//算法1-5 
findx(int x)        //在a[n]数组中顺序查找x
{ 
for(i=0;i

算法1-5很难计算该程序到底执行了多少次，因为执行次数依赖于x在数组中的位置。如果第一个元素就是x，则执行1次（最好情况）；如果最后一个元素是x，则执行n次（最坏情况）；如果分布概率均等，则平均执行次数为

（平均情况）。

有些算法（如排序、查找、插入等）可以分为最好情况、最坏情况和平均情况分别求算法渐进复杂度，但我们考查一个算法通常考查其最坏情况，而不是最好情况，最坏情况对衡量算法的好坏具有实际的意义。在现实生活中，我们做什么事情，也会考虑最坏会怎样，最好会怎样，但最坏情况对决策有关键作用。

问：我明白了，那空间复杂度应该就是算法占多大存储空间了？

空间复杂度：算法占用的空间大小。一般将算法的辅助空间作为衡量空间复杂度的标准。

空间复杂度的本意是指算法在运行过程中占用了多少存储空间，算法占用的存储空间包括如下。

（1）输入/输出数据所占空间。

（2）算法本身所占空间。

（3）额外需要的辅助空间。

输入/输出数据占用的空间是必需的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但这个压缩的量是很小的，可以忽略不计。而在运行时使用的辅助变量所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。

算法1-6将两个数交换，并分析其空间复杂度。

//算法1-6 
swap(int x,int y)  //x与y交换 
{ 
  int temp;
  temp=x; // temp为辅助空间 ①
  x=y;    ②
  y=temp; ③
}

两数的交换过程如图1-17所示。

图1-18中的步骤标号与算法1-6中的语句标号一一对应，该算法使用了一个辅助空间temp，空间复杂度为О(1)。

注意：在递归算法中，每一次递推需要一个栈空间来保存调用记录，因此空间复杂度需要计算递归栈的辅助空间。

看算法1-7，计算n的阶乘，并分析其空间复杂度。

//算法1-7 
fac(int n) //计算n的阶乘
{  
  if(n<0)   //小于零的数无阶乘值
  {  
     printf("n<0,data error!");
     return -1;
  }
  else if(n==0||n==1)
          return 1; 
       else 
          return n*fac(n-1); 
}

阶乘是典型的递归调用问题，递归包括递推和回归。递推首先将原问题不断分解成子问题，直到达到结束条件，返回最近子问题的解；然后逆向逐一回归，最终到达递推开始的原问题，返回原问题的解。

思考：例如，求5的阶乘，程序将怎样计算呢？

5的阶乘递推和回归过程如图1-18和图1-19所示。

 

 

图1-18和图1-19的递推和回归过程是我们从逻辑思维上推理，并以图的方式形象表达出来的。计算机内部是怎样处理的呢？计算机使用一种称为“栈”的数据结构，它类似于一个放一摞盘子的容器，每次放进去一个，拿出来的时候只能从顶端拿一个，不允许从中间插入或抽取，因此称为“后进先出”（Last In First Out，LIFO）。

5的阶乘递推（进栈）过程的形象表达如图1-20所示，实际递归中传递的是参数地址。

 

5的阶乘回归（出栈）过程的形象表达如图1-21所示。

从图1-20和图1-21的进栈和出栈过程中可以很清晰地看到，首先一步步把子问题压进栈，直到得到返回值，再一步步出栈，最终得到递归结果。在运算过程中，使用了n个栈空间作为辅助空间，因此阶乘递归算法的空间复杂度为О(n)。算法1-7中的时间复杂度也为О(n)，因为n的阶乘仅比n−1的阶乘多了一次乘法运算，fac(n)=n*fac(n−1)，如果用T(n)表示fac(n)的时间复杂度，那么：