十二、图的算法入门--(4)最短路问题---Dijkstra算法实现

摘自计蒜客：http://www.jisuanke.com/course/35/7557

先来看这样一个问题：有n座城市，已知任意两个座城市之间的距离，现在要分别求出城市A到其他n-1座城市的最短路径，

也就是求所经过的距离和的最小值。

这是一个经典的单源最短路问题，即求一起点到其余各个顶点的最短路径问题。

首先，我们可以把该场景看成是一个带权图，把n个城市看成n个顶点，把两座城市之间的距离看成是两个顶点之间的边权值，

这样问题就转化成了求顶点A到其余n-1个顶点的最短路径。

Dijkstra算法是最常见的求解单源最短路问题的算法。

先来看看 Dijkstra 算法的具体过程：

定义带权图 $G$ 所有顶点的集合为 $V$，接着我们再定义已确定最短路径的顶点集合为 $U$，初始集合 $U$ 为空。接着执行以下操作：

1. 首先我们将起点 $x$ 加入集合 $U$，并在数组 $A$ 中记录起点 $x$ 到各个点的最短路径（如果顶点到起点 $x$ 有直接相连的边，则最短路径为边权值，否则为一个极大值）。

2. 从数组 $A$ 中选择一个距离起点 $x$ 最近的、且不属于集合 $U$ 的顶点 $v$（如果有多个顶点 $v$，任选其一即可），将顶点 $v$ 加入集合 $U$，并更新所有与顶点 $v$ 相连的顶点到起点$x$ 的最短路径。

3. 重复第二步操作，直至集合 $U$ 等于集合 $V$。

算法结束，数组 $A$ 记录了起点 $x$ 到其余 $n-1$ 个点的最短路径。

下面我们用一个小例子来模拟下 Dijkstra 算法吧。

通过模拟，最终我们可以得到起点 $a$ 到各点的最短路径分别为：

$l:5(a->l)$

$e:8(a->l->e)$

$r:7(a->l->r)$

$b:9(a->l->e->b)$

仔细分析算法，我们可以发现，Dijkstra 算法和前面讲解的 Prim 算法很相像，都是从一个点开始，每次确定一个点并完成更新，重复操作直至 $n$ 个点都确定为止。Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(V^2+E)O(V​2​​+E)，$V$ 为顶点总个数，$E$ 为总边数。如果利用堆进行优化，可以将时间复杂度优化 $O(VlogV+E)$，是最坏情况下最优的单源最短路算法。

需要注意的是，Dijkstra 不适用于有边权为负数的情况哦，否则会影响算法的正确性。

算法实现：计算一个带权无向图中从顶点0出发，到所有顶点的最短路径长度。

比如下图：

在这个图中，从a出发到e的最短路a->l->e,长度是8；到b的最短路是a->l->e->b,长度为9；

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
	int vertex, weight;
};

class Graph {
private:
	int n;
	vector * edges;
    bool * visited;
public:
	int * dist;
	Graph (int input_n) {
		n = input_n;
		edges = new vector[n];
		dist = new int[n];
        visited = new bool[n];
        memset(visited, 0, n);
		memset(dist, 0x3f, n * sizeof(int));
	}
	~Graph() {
		delete[] dist;
		delete[] edges;
        delete[] visited;
	}
    void insert(int x, int y, int weight) {
        edges[x].push_back(Edge{y, weight});
        edges[y].push_back(Edge{x, weight});
    }
    void dijkstra(int v) {
        //[1]初始化
        dist[v] = 0;
        //[2]n次循环，每次找出从源点出发最短路径最小的未访问的顶点，标记为已访问，之后更新
        //和这个顶点相邻的所有顶点的最短路。
        for(int i=0; i> n >> m;
	Graph g(n);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		g.insert(a, b, c);
	}
	g.dijkstra(0);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << i << ": " << g.dist[i] << endl;
	}
	return 0;
}