向量的基本运算

写在前面

向量在计算几何中是最常用的结构，也是包含运算较多的结构

向量运算的实现

    struct point{
        double x,y;//定义构造函数会对后面的工作提供极大的便利
        point(){}

        point(double _x,double _y)x:(_x),y(_y){}  //采用运算符重载的方式实现向量的运算

        /*
        或者这样写：
        point(double a=0,double b=0){
            x=a,y=b;
        }
        */

        point operator+(point a){   //向量加法
            return point(x+a.x,y+a.y);
        }

        point operator-(point a){   //向量减法
            return point(x-a.x,y-a.y);
        }

        double operator*(point a){  //向量叉积
            return x*a.y-a.x*y;
        }

        double operator^(point a){  //向量点积
            return x*a.x+y*a.y;
        }

        point operator*(double a){ //向量乘以实数
            return point(a*x,a*y);
        }

        double len2(){             //向量模的平方
            return x*x+y*y;
        }
    };

 

1.一些基本概念：

1）关于一条线段

一条线段如下图所示（在二维平面上）：

那么很简单的是，我们可以直接用AB来表示这条线段，那么我们还可以用点+向量的形式来表示这条线段，如上图AB就可以表示为A+=B，或者也可以表示为B+=A，都是可以的。同样，对于AB上任意一点C，都满足下面这个式子：

如果存在任意C∈AB，都存在（存在）p∈[0,1]，使得C=(1-p)A+pB。（p指AC：AB的比例）

证明见下图：

我们过C作CDOB交OA于D，作CEOA交OB于E，首先因为有DCOB，所以ADCAOB，所以有AD：DO=AC：BC=p：1-p，所以OD=(1-p)OA，同理OE=pOB，因为向量的加减满足平行四边形法则（见下方4.2），所以有=，最后代换一下即可得到上方的式子。

2.关于一条直线

直线一般就是利用直线上的两个点来表示，方法同上。

3.关于一个多边形

最主要的还是一个存储问题，通常我们会按顺时针或逆时针的顺序存储多边形的顶点，或者存边及其起点。

4.关于向量

几何向量就是指线性空间里既有大小又有方向的量（没错就是矢量）

1）关于向量的表示

向量其实可以理解为一条带箭头的线段，箭头代表方向，线段长度代表大小，如果给定起点A和终点B，那么这个向量就可以表示为，同样也可以用小写字母的形式来表示。

在平面直角坐标系上，同样也可以用数对的形式来表示：A(x1,y1)，B(x2,y2)→=(x2-x1,y2-y1)。

设，那么有向线段AB的长度叫做向量a的模，记作|a|，大小就是两点的欧几里得距离。

2）关于向量的运算

向量的运算遵循平行四边形法则（现在不懂没关系，高中物理会讲，数学也会讲）

加减法就非常形象，一张图搞定：

，，

我们可以这样理解：因为OAAC，那么向量OA与OB的和就可以视为O先移动到A，再从A移动到C，所以向量OA与OB的和就是OC。其他两个式子同理。

同样可以用坐标表示出来：

加法：a+b=(x1+x2,y1+y2)，减法：a-b=(x1-x2,y1-y2)。

然后是向量去乘以（或除以）一个非零数，也很明显，就是向量的放缩，如果为负数顺带反向。图示：

向量OA乘以一个(0,1)之间的数可得到OA'，乘以一个(1,)的数可得到OA''，乘以一个负数可得到OA'''。

3）向量与向量之间的一些操作

1.向量之间的夹角。

对于两个非零向量，任取一点O，作,，那么就叫向量a、b的夹角，记作<>

2.向量的点积与叉积

首先需要点预备知识：和角公式（如果不会请自行百度）

a=(x1,y1),b=(x2,y2)的点积用表示，。它的结果是一个标量（只有大小没有方向） .它的几何意义是向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积，即。

大概就是这个意思：

OC就是OB在OA方向上的投影，最后的结果就是OCOA。

小小证明一下：

由平面内两点距离公式我们可以得到，

令OC为OB在OA上的投影，,

可得x1=OB*cos,y1=OB*sin,x2=OA*cos，y2=OA*sin，所以x1x2+y1y2=OA*OB*()

由和角公式：，可得x1x2+y1y2=OA*OB*=向量OC的模*向量OA的模。证毕。

那么利用点积我们可以干什么呢？判垂直！显然，如果向量OBOA，那么向量OB在向量OA上的投影的模为0，那么二者的点积就为0。

这些都可以推广到n维空间，即

然后是向量的叉积。

三维叉积：两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)的叉积的结果是一个向量c，记作。

，其中i,j,k,分别为三个轴上的单位向量。

根据叉积的计算式，可得c的模长即为以a,b为邻边所作的平行四边形的面积，c的方向遵循右手定则（右手除大拇指外四指与a 平行，方向与a 一致，大拇指与a 垂直，然后四指转过一个小于的角到达b ，此时大拇指的方向就是c 的方向）

那么二维叉积呢？我们可以将其视作z=0的时候的情况，所以叉积结果为(0,0,)。所以我们定义二维叉积为：，其几何意义为：其结果大小等于以a,b为邻边所作平行四边形的有向面积（这个就不需要证了吧，手推一下就出来了），即，而根据叉积的结果，我们能判断a,b的方向。如下图：

由此我们也可以推出，a,b共线。

3.向量的旋转

对于向量=(x1,y1)，如果我们将其逆时针旋转，那么旋转后的向量的坐标怎么表示呢？见下图：

我们令向量OA的模长为L,那么x1=,y1=,x2=,y2=。

因为，所以x2=，展开可得，y2同理。

有了上面这些东西，我们就可以得到一些奇奇怪怪的东西了

1.三角形面积公式：

如果你还在想海伦公式这种东西的话，emmm，你没救了。

我们可以利用叉积直接得到二倍三角形的面积=||=||=||。

2.判断P是否在线段AB上：

直接看向量PA的大小+向量PB的大小（均取绝对值）是否等于向量AB的大小。

3.判断P是否在直线AB上：

直接看的结果是否为0即可。

4.判断连续两条线段AB,BC的拐向（求凸包的时候就是靠这个判断）：

利用叉积判断，>0则逆时针拐弯。

5.求的种类：

利用点积判断直角，锐角，钝角。

6.求P到线段AB的最短距离：

分两种情况讨论：1.中有一个为钝角，则最短距离为min(|PA|,|PB|)

否则最短距离为三角形ABP底边AB的高=.。

7.判断线段AB,CD是否相交：

判断 B A, 是否在CD两边，以及 D C, 是否在 AB 两边，还要注意共线的特殊情况：若 AB ，CD不共线，则判断：且，否则判断AB是否至少一个点在线段CD上，类似下图：

8.求两条直线（线段）的交点（假设两点不共线）

1.代数方法：就是初中教的两解析式求解，非常。。。。。好想，但信息学基本不用。。。

2.几何方法：令S1=,S2=,P=A+，图示如下：

如图，三角形ACD的面积即为S1，三角形BCD的面积即为S2，那么PA:AB=S1：S1+S2（共边定理），然后就可以得到上面那个式子了。

这里贴道小例题：POJ2318 TOYS https://blog.csdn.net/g21glf/article/details/80907277

大概就是这些了吧