傅里叶变换和小波变换学习总结

所谓变换，实际上是信号在一组基下的表示。我们需要做的是求出信号在这组基每个分量的投影。而投影是内积，函数的内积又是用极限的方式表示。

傅里叶变换：

把无限周期信号转换成正弦信号的累加，从而完成了时域信号到频域的转换。

F(ω)=∫+∞−∞e−iωtf(t)dt

正弦表示到复数表示的推导参看相关资料。（需补充）
缺点：转换后能够得到频谱，但是只能了解到信号所包含的频率信息，但是不知道这些频率信息出现在哪些时间段。
也就是说，同样的一组频率信息，出现的先后顺序不同，组合成的可观测的信号是不同的，但我们如果用傅里叶变换对这些观测信号进行分析，会得到同样的频谱。

小波变换：和傅里叶变换一样，是用一组基的组合来表示信号。只是这组基不是正弦，而是有限长的会衰减的小波基。

WT(α,τ)=1(√a)∫+∞−∞f(t)∗ψ(t−τa)dt

小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

参考文章：
咚懂咚懂咚 稍有常识的人