正交矩阵、正交向量组、标准正交基、正交基

矩阵相关知识

两个向量正交是指它们的内积等于0，两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和

正交矩阵定义：
如果：AA^{T=E（E为单位矩阵，A}T表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A^TA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 :
1)A^T是正交矩阵
2)E为单位矩阵
3)A的各行是单位向量且两两正交
4)A的各列是单位向量且两两正交
5)(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)

8)正交矩阵通常用字母Q表示。
(9)举例：
若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有：



1.正交向量组
直接给定义：欧式空间V的一组非零向量，如果他们俩俩向量正交，则称是一个正交向量组。
（1）正交向量组 是 线性无关的
（2）n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个，即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

2.正交基
在n维欧式空间中，由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

3.标准正交基
在n维欧式空间中，由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基
比如3维欧式空间中，
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组，因为他们俩俩向量正交
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基，因为此正交向量组由n个非零向量组成
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基，因为每个向量都是单位向量

4.单位矩阵
如果一个矩阵满足一下几个条件，它就是一个单位矩阵，记作E或者I:
（1）是一个方阵
（2）主对角线上的元素都是1（主对角线是从左上到右下的对角线）
（3）除了主对角线，其他位置的元素都是0
如下就是一个3阶单位矩阵
[[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]]