计算理论_可归约性
可归约性
1可归约性定义
归约：就是将一个问题转化为另一个问题，使的用第二个问题的解来解第一个问题第一个问题。这种思想类似于数学证明中，如果一个证明很难从原命题切入，此时根据原命题与其逆否命题是等价的，将原命题转换成逆否命题求解，将得到及其简便的解法或者是结题的切入点。例如，假设要在一个城市中认路，如果有一张地图，就将认路问题归约得到地图问题。
2可归约性相关的定理
可归约性在复杂性理论起着重要的作用，当A可归约到B时，解A不可能比解B更难，因为B的一个解给出了A的一个解。
根据计算理论：
如果A可归约B 1.B是可判定的，则A是可判定的。2.A是不可判定的,则B是不可判定的。
以上的性质在证明许多的不可判定性时起着关键作用。
这样提供了一种对证明问题不可解的思路：先证明另一个问题是不可解的，再将此问题归约到它。
HALTTM={
定理：HALTTM是不可判定的。
ETM={
定理 :ETM是不可判定的。
REGULARTM={
定理 : REGULARTM是不可判定的。
EQTM={
定理 : EQTM是不可判定。
计算历史的归约性
定义：M是TM,w是string。M在w上的一个接受历史是一个格局序列C1,C2,…,Cl,C1 是起始格局Cl是接受格局。
定义 线性界线自动机(LBA)：不允许读写头离开包含输入的带区域的自动机。
定理 ALBA是可判定的
定理 ELBA是不可判定的
定理 ALLCFG是不可判定的
定理 PCP是不可判定的(未看懂)
3与密码学相关的应用背景
将一个问题的计算复杂性变大是密码学研究的思想，而计算理论是将一个问题的计算复杂度降低以至于能在多项式时间内可解。设计一套密码机制，需要计算理论的推导其机制的安全性，将一个问题归约到密码机制的问题，验证这个问题是否可判定可识别。
密钥是加密算法和解密算法使用的一段信息。而在设计密码机制是，设计的密钥是否安全?得需要证明。计算复杂性理论提供另一种获得密码安全性证据的方法,可能给出破译这个密码复杂度与另外某个问题的复杂度之间的关系，我们将NP完全性作为某些问题是难解的证据，把一个NP完全问题归约到一个密码破译问题，可以证明这个密码破译问题本身是NP完全的。从计算的可归约性，将一个问题映射可归约到已设置密钥破解的问题，证明其属于一个NP完全问题，将证明这种密钥的安全性和（除强力破解外）不可破译性。
4映射可归约性
可计算函数：函数f: ∑*->∑*是可计算函数，如果某个TM M,使得在每个输入w上，M停机，且此时只有f(w)出现在带上。
eg: 整数上所有通常的算术运算都是可计算函数。
定义 语言A是映射可归约到语言B的，如果存在可计算函数f: ∑*->∑*,使得每个w,
w∈Aóf(w) ∈B,记做A≤mB。称作函数f为A到B的归约。
映射归约的本质与函数一一映射的概念相似。
定理如果A≤mB，则1.B可判定，则A也是可判定的。2.如果A是不可判定的，则B也是不可判定的。
定理 如果A≤mB，则1.B图灵可识别，则A也是图灵可识别。2.如果A是图灵不可识别，则B也是图灵不可识别。
问题：证明ATM不可归约映射ETM
反证法证明：假设ATM可映射归约到ETM，ATM补可映射归约到ETM补，ATM是不可判定的，ATM是图灵可识别的，则有ATM的补不是图灵可识别的，从而可知ETM的补也不是图灵可识别的。
下面构造一个识别ETM的补（{
设s1,s2,s3,..是∑*中的所有串。如果TM M识别语言A,为A构造枚举器E如下：
E=“忽略输入
1) 对i=1,2,…重复下列步骤。
2) 对S1,S2,…,Si中的每一个，让M以其作为输入运行i步。
3）如果有计算接收，则打印出相应的sj。
E可识别ETM的补，所以ETM的补是图灵可识别的，
上面推论与ETM的补不是图灵可识别相矛盾。
结论：所以ATM不可映射规约到ETM。