从傅里叶级数到傅里叶转换公式

1、 考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：

f(t)=A0+∑n=1∞Ansin(nωt)+φn,

2、 将后面的正弦函数展开：

Ansin(nωt+φn)=Ansinφncosnωt+Ancosφnsinnωt,

令

a02=A0,an=Ansinφn,bn=Ancosφn,ωt=x

于是得到：

a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx).

那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。

∫π−πcos nxdx=0(n=1,2,3,…),

∫π−πsin nxdx=0(n=1,2,3,…),

∫π−πsin kx cos nxdx=0(n=1,2,3,…),

∫π−πcos kx cos nxdx=0(n=1,2,3,…,k≠n),

∫π−πsin kx sin nxdx=0(n=1,2,3,…,k≠n),

上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：

如果我们对原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：

∫π−πf(x)dx=∫π−πa02dx+∑k=1∞[ak∫π−πcos kx dx+bk∫π−πsin kx dx]

后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。
那么如何求出an,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

∫π−πf(x)cos nx dx=a02∫π−πcos nx dx+∑k=1∞[ak∫π−πcos kx cos nxdx+bk∫π−πsin kx cos nxdx]

利用三角函数的正交性，可以得到：

an=1π∫π−πf(x)cos nxdx  (n=1,2,3,…)

再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到bn,

bn=1π∫π−πf(x)sin nxdx  (n=1,2,3,…)

于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。

通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。

到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：

有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····

至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。

也就是说如何让一个以2l为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxldx,bn=1l∫l−lf(x)sinnπxldx

傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的······

一个基本的欧拉公式 eiθ=cosθ+i∗sinθ ,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通过取两个互为相反数的θ可以得到两个式子，进而可以得到cos 和 sin 的复数表达形式：

fT(t)=a02+∑n=1∞(ancosnω0t+bnsin nω0t)=a02+∑n=1∞(an[frac12(ejnω0t+e−jnω0t)]−bn[j2(ejnω0t−e−jnω0t)])

最终推理得到：

fT(t)=∑n=−∞+∞cnejnωnt  (n=0,±1,±2,…)

其中

cn=1T∫T2−T2f(t)e−jnω0tdt

也就是

fT(t)=∫+∞−∞1T[∫+∞−∞f(t)e−jωtdt]ejωtdω

定义 f(t) 的傅里叶变换为：

F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt