洛谷P1044 【栈】 题解

洛谷P1044 【栈】

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 poppop （从栈顶弹出一个元素）和 pushpush （将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述：

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列， 1,2,…,n1,2,…,n （图示为1到3的情况），栈 AA 的深度大于 nn 。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 pushpush 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 poppop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3123 生成序列 2 3 1231 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn ，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式:

输入格式：

输入文件只含一个整数 n(1≤n≤18)n(1≤n≤18)

输出格式：

输出文件只有 11 行，即可能输出序列的总数目

输入输出样例:

输入样例#1：

3

输出样例#1：

5

解题思路：

其实这题就是简单的卡特兰数，原理如下：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)h(1)+h(1)h(0)=11+11=2

h(3)=h(0)h(2)+h(1)h(1)+h(2)h(0)=12+11+21=5

另类递推式：

h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

所以简单打个表就可以了。

代码：

#include
using namespace std;
int a[20]={1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700};
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<return 0;
}