复变函数与积分变换系列（一） - 复变函数与解析函数

复变函数与解析函数

Author : Benjamin142857

[TOC]

0 .几个基本概念

• 实虚部
  $$\begin{gathered} Plural:z=x+iy \\ Real:x=Rez \\ Imaginary:y=Imz \end{gathered}$$

• 辐角

  ${\theta }_0$ : 唯一； $-\pi <{\theta }_0<\pi$，

  $\theta$ : 无穷个； $\theta ={\theta }_0+2k\pi (k\in Z)$

  • 主辐角
    $${\theta }_0=argz$$

  • 辐角
    $$\theta =Argz$$

1. 复数常用运算

复数运算满足交换律、结合律、分配律、以下是几种常用的快捷运算

$$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

$$\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2},\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2},\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

$$z\cdot \overline{z}=(Rez{)}^2+(Imz{)}^2\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

2. 各种复数表示式

三角表示式 $\iff$ 指数表示式 : 欧拉公式

• 常规复数 - 表示式
  $$z=x+iy\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

• 复平面点 - 表示式
  $$z=(x,y)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

• 复平面向量 - 表示式
  $$z=OP\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

• 三角 - 表示式
  $$z=r\cdot (cos\theta +isin\theta )\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

• 指数 - 表示式

$$z=r\cdot e^{i\theta }\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

• 复球面 - 表示法

  N：北极 - 无穷远点

  S：南极 - 复平面原点

  Describe : 复平面一点 $P$ 与 $N$ 连线交于复球面的一点 $Q$ ，$Q$的位置可完全表示复数信息

  • $OP$ 方向表示：作 $ON$ 上一点 $O^{\prime }$ 使得 $O^{\prime }Q//OP$，$O^{\prime }Q$ 方向即 $OP$ 方向
  • $OP$ 大小表示：$Q$ 离 $N$ 越近越大，越远越小

3. 乘幂与方根

$z_1=r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)$

$z_2=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)$

• 乘幂
  $$z_1{z}_2=r_1{r}_2(cos({\theta }_1+{\theta }_2)+isin({\theta }_1+{\theta }_2))=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

  $$z^n=r^n[cos(n\theta )+isin(n\theta )]=r^n{e}^{in\theta }\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

  • DeMoivre (棣莫佛公式)

    当 $r=1$ 时

    $$(cos\theta +isin\theta {)}^n=[cos(n\theta )+isin(n\theta )]\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

• 方根
  $$\frac{z_1}{z_2}=r_1{r}_2(cos({\theta }_1-{\theta }_2)+isin({\theta }_1-{\theta }_2))=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

  $$\begin{gathered} z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}[cos(\frac{\theta +j\cdot 2\pi }{n})+isin(\frac{\theta +j\cdot 2\pi }{n})]=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i(\frac{\theta +j\cdot 2\pi }{n})} \\ (j=0,1,...,n-1)\text{\hspace{1em}(3.5)} \end{gathered}$$

4. 区域

• 主要内容
  1. 领域 + 去心领域
  2. 一些点 - [内点，外点，边界点，边界点集]
  3. 一些域 - [开集，连通，区域，闭域]
  4. 有界 + 无界

• 领域与去心领域

  • 领域：$|z-z_0|<\delta$
  • 去心领域：$0<|z-z_0|<\delta$
  • 简记：$B(z_0,\delta )$

• 内点、外点、边界点、边界点集

  • 内点：$\exists \rho >0\to B(z_0,\rho )\subset E$

  • 外点：$\exists \rho >0\to B(z_0,\rho )\cap E=\varnothing$

  • 边界点：$\forall \rho >0，\exists z_1,z_2\in B(z_0,\rho )\to z_1\in E，z_2\notin E$

  • 边界点集：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 1: \̲p̲a̲r̲t̲ ̲E

• 开集、连通、区域、闭域

  • 开集：点集内所有点都是内点

  • 连通：$\forall z_1,z_2\in E$，$\exists$ 一条曲线 $ \rightarrow$ 能将 $z_1,z_2$ 连接起来

  • 区域：$D$ = [开集] + [连通]

  • 闭域：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 18: …verline{D} = D+\̲p̲a̲r̲t̲ ̲D

• 有界、无界

  • 有界：$\exists M>0$ $\to$ $\forall z\in D,|z|<M$
  • 无界： $ 不存在 M >0$ $\to$ $\forall z\in D,|z|<M$

5. Jordan曲线、区域连通性

• 主要内容
  1. 复平面 - 连续曲线
  2. 连续曲线 - 方向
  3. 闭合曲线 + 简单曲线
  4. Jordan曲线
  5. 光滑曲线 + 分段光滑曲线
  6. 单连通区域 + 多连通区域

• 复平面上的连续曲线

  在 $XOY$ 复平面上，曲线 $C$ 连续

  $$z=x(t)+iy(t)（\alpha \le t\le \beta ）\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

  其中，$x(t),y(t)$ 是 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续的实值函数

• 复平面连续曲线的方向

  • 对于曲线 $z(t)$ ，$t$ 增加的方向为曲线方向，若没有特别说明，则需约定一个正方向
  • $C$ 的反向曲线表示为 $C^{-1}$

• 闭合曲线与简单曲线

  • 闭合曲线：z(起点）=z(终点）

  • 简单曲线：曲线除起点和终点以外的其他位置不相交（起点终点可交可不交）

• Jordan曲线

  连续的简单闭曲线：[连续] + [闭合] + [简单]

  • Jordan曲线把复平面分为两个区域：内部有界，外部无界，曲线为公共边界

  • Jordan曲线的正方向为逆时针方向

• 光滑曲线与分段光滑曲线

  • 若 $z(t)=x(t)+iy(t)$ 是光滑曲线：

    • $x(t)$，$y(t)$ 在 $t\in [\alpha ,\beta ]$ 上连续可导
    • $[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2̸=0$ （切线方向唯一存在性定理：就是不能为零向量）

  • 分段光滑光滑曲线：由几段光滑曲线依次相连

• 单连通域，多连通域

  首先前提：点集是区域

  • 单连通区域：$D$ 内任何Jordan曲线的内部区域都包含于 $D$

  • 多连通区域：不是单连通区域的区域

6. 复变函数与其基本性质

• 主要内容
  1. 复变函数 - 定义
  2. 复变函数 - 单值与多值
  3. 复变函数 - 二元实函数表示
  4. 复变函数 - 反函数
  5. 复变函数 - 极限存在性
  6. 复变函数 - 连续性
  7. 复变函数 - 连续性的相关定理

• 复变函数的定义

  $E$ 为复平面上的点集

  $z\in E$，$w=f(z)$

• 复变函数的单值与多值

  • 单值复变函数：$\forall z\in E$，存在唯一 $f(z)$ 值与之对应

    例：$f(z)=|z|$

  • 多值复变函数 : $\exists z\in E$，$f(z)$ 有多个值

    例：$f(z)=Argz$

• 复变函数的二元实函数表示

  $z=x+iy$ 为复数

  $w=f(z)$ 为复数

  $w=f(z)$ 可写成实变量 $x,y$ 的二元实函数组成的复数

  $$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

• 复变函数的反函数

  对于 $w=f(z)$

  $w$ 的值域（点集）：$G=\{w|w=f(z),z\in D\}$

  若 $D=\{z|z=\phi (w),w\in G\}$

  则称 $z=\phi (w)$ 为 $w=f(z)$ 的反函数

• 复变函数的极限

  与高数中二元实函数极限思想类似

  $\forall \epsilon >0$

  $\exists \delta$，当 $0<|z-z_0|<\delta$ 时

  $|f(z)-A|<\epsilon$

  则 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的极限存在

$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

• 证明该点极限不存在

  • 找一条过该点的路径趋近，算出极限不为定值或不存在
  • 找不同过该点的路径趋近，算出极限不相等

• 证明该点极限存在

  • 夹逼准则

• 复变函数的连续性

  • 复变函数在某点连续

    在该点的领域内有定义，且该点极限存在

  • 复变函数在某区域内连续

    在该区域内没一点都连续

• 与复变函数连续性有关的几个定理

  • 定理一

    [复变的二元实函等价性]

    设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

    $\Downarrow$

    $f(z)$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处连续 $\iff$ $u(x,y),v(x,y)$ 都在 $(x_0,y_0)$ 处连续

  • 定理二

    [四则运算连续性]

    设 $f(z),g(z)$ 都在 $z_0$ 处连续

    $\Downarrow$

    $f(z)\pm g(z),f(z)g(z),\frac{f(z)}{g(z)}(g(z)̸=0)$ 均在 $z_0$ 处连续

  • 定理三

    [复合连续性]

    设 $f(z)$ 在 $z=z_0$ 处连续，g(z) 在 $z=f(z_0)$ 处连续

    $\Downarrow$

    $g(f(z))$ 在 $z_0$ 处连续

  • 定理四

    [连续有界性]

    设曲线C连续，有限长

    设$f(z)$ 在 $z\in C$ 上连续

    $\Downarrow$

    $\exists M>0$，当 $z\in C$ 时， 有 $|z|<M$