脊回归（ridge regression）

之前对脊回归没有认真的去学习和思考，现在突然要用到这方面的知识，感觉很惭愧。现学现卖吧。

多重共线性

在介绍脊回归之前时，先了解一下多重共线性。

在线性回归模型当中，我们假设每个样本中每个变量之间是相互独立的（参考之前的一篇博客：线性回归与梯度下降（linear regression and gradient descent））。

就是说下面的公式中，

x1,x2,.....,xn中的某几个变量之间存在相关性，或者用矩阵的形式表示的话，矩阵中的某一列可以用其他的列，或其他的某几个列来表示，那么就认为存在共线性。

脊回归

在线性回归问题求解过程中，如果存在共线性，那么求解的参数结果其方差和标准差变大，进而导致用此参数进行预测时，预测结果产生很大的偏离。

那么如何克服这个问题呢？

一般，解决多重共线性可以采用如下的一些方法：

1、排除引起共线性的变量（逐步回归法）

2、差分法

3、减小参数估计量的方差（例如增加样本容量）；

4、变量变换（例如可以把相关的两个变量合并到一起）；

5、利用先验信息做约束（例如增加惩罚项）。

在线性回归问题中，如果在回归模型后面增加L2范数的惩罚项，则为脊回归，如果增加L1范数的惩罚项，则为套索回归。

本文只写脊回归，其模型为（最小二乘法）：

这里增加的是对求解参数的惩罚项约束，很显然，当a取很大的值时，惩罚项的作用就很明显了，因为，惩罚项必须足够小，那么就达到目的了。

对于其求解，可以对公式变形，得到：

对其进行最小化优化，对theta求导，得到：

由于

是标量，转置之后仍然是相同的。

那么结果为：