50Hz工频干扰消除

     今天整理工频干扰消除算法。

     我们知道，设计数字滤波器，和模拟滤波器的实质，其实就是求一组系数，逼近要求的频率响应。

     模拟滤波器已经很成熟，因此，数字滤波器的设计，将S平面映射到Z平面就型。采用双线性变化法映射，可以避免多值映射产生的混叠现象。但这有个问题就，模拟域和数字域两者的角频率是非线性的。

    1.平滑滤波器是数字滤波中较早使用的方法，该算法简单，处理速度快，滤波效果较好，但存在明显不足，通带较窄，影响有用信号的分析，有严重削峰，设计方法略。

     然后，我们根据IIR和FIR分两大类。FIR滤波器，可以得到严格的线性相位，但它的转移函数的极点固定在原点，只能通过改变零点位置来改变性能。为了达到高的选择性，必须使用高阶。相同设计指标下，FIR滤波器的阶数是IIR滤波器的5~10倍。而IIR滤波器可以根据模拟滤波器的设计公式，数据和表格，计算量小。

    首先介绍IIR类，即两种形式的notch滤波器。

    2.陷波器  notch 滤波器

       陷波器，是IIR数字滤波器，有signal notch 滤波器，即单一频率陷波器，以及comb notch滤波器，即梳妆滤波器。

       陷波器是无限冲击响应(IIR)数字滤波器，该滤波器可以用以下常系数线性差分方程表示：

式中： x(n)和y(n)分别为输人和输出信号序列； ai和bi为滤波器系数。

对式(1)两边进行z变换，得到数字滤波器的传递函数为：

     

式中： zi和pi分别为传递函数的零点和极点。

    由传递函数的零点和极点可以大致绘出频率响应图。在零点处，频率响应出现极小值；在极点处，频率响应出现极大值。因此可以根据所需频率响应配置零点和极点，然后反向设计带陷数字滤波器。

       2.1 signal notch 滤波器

           考虑一种特殊情况，若零点 在第1象限单位圆上，极点在单位圆内靠近零点的径向上。为了防止滤波器系数出现复数，必须在z平面第4象限对称位置配置相应的共轭零点 、共轭极点 。其极零图如下所示：

这样零点、极点配置的滤波器称为单一频率陷波器，在频率ωo处出现凹陷。而把极点设置在零的的径向上距圆点的距离为l-μ处，陷波器的传递函数为：

式(3)中μ越小，极点越靠近单位圆，则频率响应曲线凹陷越深，凹陷的宽度也越窄。当需要消除窄带干扰而不能对其他频率有衰减时，陷波器是一种去除窄带干扰的理想数字滤波器。

       当要对几个频率同时进行带陷滤波时，可以按(2)式把几个单独频率的带陷滤波器(3)式串接在一起。

       假设有一个输入，它由50Hz信号和100Hz信号组成。50Hz是一个干扰信号，要设计一个50 Hz的带陷滤波器，采样频率为500Hz。

       转移函数：

       根据极零关系，取μ = 0.001，则得到z = 0.809 + j * 0.588，z* = 0.809 - j * 0.588，p = 0.8082 + j * 0.5872，p* = 0.8082 - j * 0.5872

       代入转移函数，得到分子系数[1, 1.618, 1],分母系数[1,1.6164,0.999] 

 

       相应的差分方程：

  

 

       2.2 comb notch 滤波器

       该滤波器实际就是梳妆滤波器，解决了50Hz的K此谐波，可以用matlab直接设计。

       其次，介绍FIR滤波器，主要是带阻滤波器。也包括两种：巴特沃斯带阻，多带滤波器。

       3 带阻滤波器

       3.1多带滤波器

       multiband，属于直接型 FIR滤波器，我们可以用Matlab设计出multiband 陷波器。

       3.2巴特沃斯带阻滤波器，又称简单整系数带阻滤波器，其原理为一个全通网络，减去一个具有相同延迟和增益的窄带线性相位FIR滤波器，得到一个具有尖锐陷波特性的陷波滤波器。阻带下限截止频率fc1 = 49 Hz，阻带上限截止频率fc2 = 51 Hz，就可以消除50 Hz 的工频干扰。但这种方式，无法滤除50Hz的K此谐波。设计方法如下：

       因此，首先设计一个中心频率为50Hz的窄带带通滤波器

      

       为了保证2cosw2值为整系数，则w2只能取pi/3,pi/2,2pi/3,但我们采样率为500Hz，因此，再增加一对共轭极点。位置为w = 2pi * 50 / 500，z = e^j* 4 * pi/5处

       简单起见，先取K = 1,为了使分子分母是整系数，则M应是5的奇数倍。

       所以最终的频率响应函数为：

       式中，e的冥应该是5.不是4.

        其中心频率pi/5处，取得最大值（2p + 1），因此全通滤波器系数为2p+1，为使得通带幅值为1，则除以2p+1，最后的滤波器频率特性为：

        

         p的选取，决定阻带宽度，越大，则阻带越窄。取P= 50，则阻带1Hz，考虑到电网的活动，取p= 24,但这使得通带波纹增大，故而，增加K。

         总之：平滑滤波器，严重学峰，但速度快，可实时。

                     单一频率陷波器，相位非线性，不能保证K次谐波滤除。

                     梳妆滤波器，相位非线性

                     简单整系数带阻滤波器，不能实现实时，且当干扰频率有漂移时，效果较差。

                     多带滤波器，线性相位，阶数高。

                     还有自适应滤波器，但其计算量大，需要学习时间。

         因此，实时处理，可以考虑多带滤波器，梳妆滤波器，单一频率陷波器