主成分分析PCA
降维的必要性
1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。
2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有0.02%。
3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。
4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。
降维的目的：
1.减少预测变量的个数
2.确保这些变量是相互独立的
3.提供一个框架来解释结果
降维的方法有：主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。
PCA（Principal Component Analysis）不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。
PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。
预备知识
样本X和样本Y的协方差(Covariance)：
协方差为正时说明X和Y是正相关关系，协方差为负时X和Y是负相关关系，协方差为0时X和Y相互独立。
Cov(X,X)就是X的方差(Variance).
当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵（对称方阵），方阵的边长是。比如对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是：
若，则称是A的特征值，X是对应的特征向量。实际上可以这样理解：矩阵A作用在它的特征向量X上，仅仅使得X的长度发生了变化，缩放比例就是相应的特征值。
当A是n阶可逆矩阵时，A与P-1Ap相似，相似矩阵具有相同的特征值。
特别地，当A是对称矩阵时，A的奇异值等于A的特征值，存在正交矩阵Q（Q-1=QT），使得：
对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。
D是由特征值组成的对角矩阵
由特征值和特征向量的定义知，Q的列向量就是A的特征向量。
Jama包
Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。
PCA过程
1.特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值。这里的“维”指的就是一个特征（或属性），变换之后每一维的均值都变成了0。
很多数据挖掘的教材上都会讲到鹫尾花的例子，本文就拿它来做计算。原始数据是150×4的矩阵A：
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148
149
150
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5.1 3.5 1.4 0.2
4.9 3.0 1.4 0.2
4.7 3.2 1.3 0.2
4.6 3.1 1.5 0.2
5.0 3.6 1.4 0.2
5.4 3.9 1.7 0.4
4.6 3.4 1.4 0.3
5.0 3.4 1.5 0.2
4.4 2.9 1.4 0.2
4.9 3.1 1.5 0.1
5.4 3.7 1.5 0.2
4.8 3.4 1.6 0.2
4.8 3.0 1.4 0.1
4.3 3.0 1.1 0.1
5.8 4.0 1.2 0.2
5.7 4.4 1.5 0.4
5.4 3.9 1.3 0.4
5.1 3.5 1.4 0.3
5.7 3.8 1.7 0.3
5.1 3.8 1.5 0.3
5.4 3.4 1.7 0.2
5.1 3.7 1.5 0.4
4.6 3.6 1.0 0.2
5.1 3.3 1.7 0.5
4.8 3.4 1.9 0.2
5.0 3.0 1.6 0.2
5.0 3.4 1.6 0.4
5.2 3.5 1.5 0.2
5.2 3.4 1.4 0.2
4.7 3.2 1.6 0.2
4.8 3.1 1.6 0.2
5.4 3.4 1.5 0.4
5.2 4.1 1.5 0.1
5.5 4.2 1.4 0.2
4.9 3.1 1.5 0.1
5.0 3.2 1.2 0.2
5.5 3.5 1.3 0.2
4.9 3.1 1.5 0.1
4.4 3.0 1.3 0.2
5.1 3.4 1.5 0.2
5.0 3.5 1.3 0.3
4.5 2.3 1.3 0.3
4.4 3.2 1.3 0.2
5.0 3.5 1.6 0.6
5.1 3.8 1.9 0.4
4.8 3.0 1.4 0.3
5.1 3.8 1.6 0.2
4.6 3.2 1.4 0.2
5.3 3.7 1.5 0.2
5.0 3.3 1.4 0.2
7.0 3.2 4.7 1.4
6.4 3.2 4.5 1.5
6.9 3.1 4.9 1.5
5.5 2.3 4.0 1.3
6.5 2.8 4.6 1.5
5.7 2.8 4.5 1.3
6.3 3.3 4.7 1.6
4.9 2.4 3.3 1.0
6.6 2.9 4.6 1.3
5.2 2.7 3.9 1.4
5.0 2.0 3.5 1.0
5.9 3.0 4.2 1.5
6.0 2.2 4.0 1.0
6.1 2.9 4.7 1.4
5.6 2.9 3.6 1.3
6.7 3.1 4.4 1.4
5.6 3.0 4.5 1.5
5.8 2.7 4.1 1.0
6.2 2.2 4.5 1.5
5.6 2.5 3.9 1.1
5.9 3.2 4.8 1.8
6.1 2.8 4.0 1.3
6.3 2.5 4.9 1.5
6.1 2.8 4.7 1.2
6.4 2.9 4.3 1.3
6.6 3.0 4.4 1.4
6.8 2.8 4.8 1.4
6.7 3.0 5.0 1.7
6.0 2.9 4.5 1.5
5.7 2.6 3.5 1.0
5.5 2.4 3.8 1.1
5.5 2.4 3.7 1.0
5.8 2.7 3.9 1.2
6.0 2.7 5.1 1.6
5.4 3.0 4.5 1.5
6.0 3.4 4.5 1.6
6.7 3.1 4.7 1.5
6.3 2.3 4.4 1.3
5.6 3.0 4.1 1.3
5.5 2.5 4.0 1.3
5.5 2.6 4.4 1.2
6.1 3.0 4.6 1.4
5.8 2.6 4.0 1.2
5.0 2.3 3.3 1.0
5.6 2.7 4.2 1.3
5.7 3.0 4.2 1.2
5.7 2.9 4.2 1.3
6.2 2.9 4.3 1.3
5.1 2.5 3.0 1.1
5.7 2.8 4.1 1.3
6.3 3.3 6.0 2.5
5.8 2.7 5.1 1.9
7.1 3.0 5.9 2.1
6.3 2.9 5.6 1.8
6.5 3.0 5.8 2.2
7.6 3.0 6.6 2.1
4.9 2.5 4.5 1.7
7.3 2.9 6.3 1.8
6.7 2.5 5.8 1.8
7.2 3.6 6.1 2.5
6.5 3.2 5.1 2.0
6.4 2.7 5.3 1.9
6.8 3.0 5.5 2.1
5.7 2.5 5.0 2.0
5.8 2.8 5.1 2.4
6.4 3.2 5.3 2.3
6.5 3.0 5.5 1.8
7.7 3.8 6.7 2.2
7.7 2.6 6.9 2.3
6.0 2.2 5.0 1.5
6.9 3.2 5.7 2.3
5.6 2.8 4.9 2.0
7.7 2.8 6.7 2.0
6.3 2.7 4.9 1.8
6.7 3.3 5.7 2.1
7.2 3.2 6.0 1.8
6.2 2.8 4.8 1.8
6.1 3.0 4.9 1.8
6.4 2.8 5.6 2.1
7.2 3.0 5.8 1.6
7.4 2.8 6.1 1.9
7.9 3.8 6.4 2.0
6.4 2.8 5.6 2.2
6.3 2.8 5.1 1.5
6.1 2.6 5.6 1.4
7.7 3.0 6.1 2.3
6.3 3.4 5.6 2.4
6.4 3.1 5.5 1.8
6.0 3.0 4.8 1.8
6.9 3.1 5.4 2.1
6.7 3.1 5.6 2.4
6.9 3.1 5.1 2.3
5.8 2.7 5.1 1.9
6.8 3.2 5.9 2.3
6.7 3.3 5.7 2.5
6.7 3.0 5.2 2.3
6.3 2.5 5.0 1.9
6.5 3.0 5.2 2.0
6.2 3.4 5.4 2.3
5.9 3.0 5.1 1.8
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每一列减去该列均值后，得到矩阵B：
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148
149
150
|
-0.743333 0.446 -2.35867 -0.998667
-0.943333 -0.054 -2.35867 -0.998667
-1.14333 0.146 -2.45867 -0.998667
-1.24333 0.046 -2.25867 -0.998667
-0.843333 0.546 -2.35867 -0.998667
-0.443333 0.846 -2.05867 -0.798667
-1.24333 0.346 -2.35867 -0.898667
-0.843333 0.346 -2.25867 -0.998667
-1.44333 -0.154 -2.35867 -0.998667
-0.943333 0.046 -2.25867 -1.09867
-0.443333 0.646 -2.25867 -0.998667
-1.04333 0.346 -2.15867 -0.998667
-1.04333 -0.054 -2.35867 -1.09867
-1.54333 -0.054 -2.65867 -1.09867
-0.0433333 0.946 -2.55867 -0.998667
-0.143333 1.346 -2.25867 -0.798667
-0.443333 0.846 -2.45867 -0.798667
-0.743333 0.446 -2.35867 -0.898667
-0.143333 0.746 -2.05867 -0.898667
-0.743333 0.746 -2.25867 -0.898667
-0.443333 0.346 -2.05867 -0.998667
-0.743333 0.646 -2.25867 -0.798667
-1.24333 0.546 -2.75867 -0.998667
-0.743333 0.246 -2.05867 -0.698667
-1.04333 0.346 -1.85867 -0.998667
-0.843333 -0.054 -2.15867 -0.998667
-0.843333 0.346 -2.15867 -0.798667
-0.643333 0.446 -2.25867 -0.998667
-0.643333 0.346 -2.35867 -0.998667
-1.14333 0.146 -2.15867 -0.998667
-1.04333 0.046 -2.15867 -0.998667
-0.443333 0.346 -2.25867 -0.798667
-0.643333 1.046 -2.25867 -1.09867
-0.343333 1.146 -2.35867 -0.998667
-0.943333 0.046 -2.25867 -1.09867
-0.843333 0.146 -2.55867 -0.998667
-0.343333 0.446 -2.45867 -0.998667
-0.943333 0.046 -2.25867 -1.09867
-1.44333 -0.054 -2.45867 -0.998667
-0.743333 0.346 -2.25867 -0.998667
-0.843333 0.446 -2.45867 -0.898667
-1.34333 -0.754 -2.45867 -0.898667
-1.44333 0.146 -2.45867 -0.998667
-0.843333 0.446 -2.15867 -0.598667
-0.743333 0.746 -1.85867 -0.798667
-1.04333 -0.054 -2.35867 -0.898667
-0.743333 0.746 -2.15867 -0.998667
-1.24333 0.146 -2.35867 -0.998667
-0.543333 0.646 -2.25867 -0.998667
-0.843333 0.246 -2.35867 -0.998667
1.15667 0.146 0.941333 0.201333
0.556667 0.146 0.741333 0.301333
1.05667 0.046 1.14133 0.301333
-0.343333 -0.754 0.241333 0.101333
0.656667 -0.254 0.841333 0.301333
-0.143333 -0.254 0.741333 0.101333
0.456667 0.246 0.941333 0.401333
-0.943333 -0.654 -0.458667 -0.198667
0.756667 -0.154 0.841333 0.101333
-0.643333 -0.354 0.141333 0.201333
-0.843333 -1.054 -0.258667 -0.198667
0.0566667 -0.054 0.441333 0.301333
0.156667 -0.854 0.241333 -0.198667
0.256667 -0.154 0.941333 0.201333
-0.243333 -0.154 -0.158667 0.101333
0.856667 0.046 0.641333 0.201333
-0.243333 -0.054 0.741333 0.301333
-0.0433333 -0.354 0.341333 -0.198667
0.356667 -0.854 0.741333 0.301333
-0.243333 -0.554 0.141333 -0.0986667
0.0566667 0.146 1.04133 0.601333
0.256667 -0.254 0.241333 0.101333
0.456667 -0.554 1.14133 0.301333
0.256667 -0.254 0.941333 0.00133333
0.556667 -0.154 0.541333 0.101333
0.756667 -0.054 0.641333 0.201333
0.956667 -0.254 1.04133 0.201333
0.856667 -0.054 1.24133 0.501333
0.156667 -0.154 0.741333 0.301333
-0.143333 -0.454 -0.258667 -0.198667
-0.343333 -0.654 0.0413333 -0.0986667
-0.343333 -0.654 -0.0586667 -0.198667
-0.0433333 -0.354 0.141333 0.00133333
0.156667 -0.354 1.34133 0.401333
-0.443333 -0.054 0.741333 0.301333
0.156667 0.346 0.741333 0.401333
0.856667 0.046 0.941333 0.301333
0.456667 -0.754 0.641333 0.101333
-0.243333 -0.054 0.341333 0.101333
-0.343333 -0.554 0.241333 0.101333
-0.343333 -0.454 0.641333 0.00133333
0.256667 -0.054 0.841333 0.201333
-0.0433333 -0.454 0.241333 0.00133333
-0.843333 -0.754 -0.458667 -0.198667
-0.243333 -0.354 0.441333 0.101333
-0.143333 -0.054 0.441333 0.00133333
-0.143333 -0.154 0.441333 0.101333
0.356667 -0.154 0.541333 0.101333
-0.743333 -0.554 -0.758667 -0.0986667
-0.143333 -0.254 0.341333 0.101333
0.456667 0.246 2.24133 1.30133
-0.0433333 -0.354 1.34133 0.701333
1.25667 -0.054 2.14133 0.901333
0.456667 -0.154 1.84133 0.601333
0.656667 -0.054 2.04133 1.00133
1.75667 -0.054 2.84133 0.901333
-0.943333 -0.554 0.741333 0.501333
1.45667 -0.154 2.54133 0.601333
0.856667 -0.554 2.04133 0.601333
1.35667 0.546 2.34133 1.30133
0.656667 0.146 1.34133 0.801333
0.556667 -0.354 1.54133 0.701333
0.956667 -0.054 1.74133 0.901333
-0.143333 -0.554 1.24133 0.801333
-0.0433333 -0.254 1.34133 1.20133
0.556667 0.146 1.54133 1.10133
0.656667 -0.054 1.74133 0.601333
1.85667 0.746 2.94133 1.00133
1.85667 -0.454 3.14133 1.10133
0.156667 -0.854 1.24133 0.301333
1.05667 0.146 1.94133 1.10133
-0.243333 -0.254 1.14133 0.801333
1.85667 -0.254 2.94133 0.801333
0.456667 -0.354 1.14133 0.601333
0.856667 0.246 1.94133 0.901333
1.35667 0.146 2.24133 0.601333
0.356667 -0.254 1.04133 0.601333
0.256667 -0.054 1.14133 0.601333
0.556667 -0.254 1.84133 0.901333
1.35667 -0.054 2.04133 0.401333
1.55667 -0.254 2.34133 0.701333
2.05667 0.746 2.64133 0.801333
0.556667 -0.254 1.84133 1.00133
0.456667 -0.254 1.34133 0.301333
0.256667 -0.454 1.84133 0.201333
1.85667 -0.054 2.34133 1.10133
0.456667 0.346 1.84133 1.20133
0.556667 0.046 1.74133 0.601333
0.156667 -0.054 1.04133 0.601333
1.05667 0.046 1.64133 0.901333
0.856667 0.046 1.84133 1.20133
1.05667 0.046 1.34133 1.10133
-0.0433333 -0.354 1.34133 0.701333
0.956667 0.146 2.14133 1.10133
0.856667 0.246 1.94133 1.30133
0.856667 -0.054 1.44133 1.10133
0.456667 -0.554 1.24133 0.701333
0.656667 -0.054 1.44133 0.801333
0.356667 0.346 1.64133 1.10133
0.0566667 -0.054 1.34133 0.601333
|
2.计算B的协方差矩阵C:
|
1
2
3
4
|
0.685694 -0.0392685 1.27368 0.516904
-0.0392685 0.188004 -0.321713 -0.117981
1.27368 -0.321713 3.11318 1.29639
0.516904 -0.117981 1.29639 0.582414
|
3.计算协方差矩阵C的特征值和特征向量。
C=V*S*V
-1
S=
4.2248414 0 0 0
0 0.24224437 0 0
0 0 0.078524387 0
0 0 0 0.023681839
V=
0.36158919 0.65654382 -0.58100304 0.3172364
-0.082268924 0.72970845 0.596429220 -0.3240827
0.85657212 -0.17576972 0. 072535217 -0.47971643
0.35884438 -0.074704743 0.54904125 0.75113489
4.选取大的特征值对应的特征向量，得到新的数据集。
特征值是由大到小排列的，前两个特征值的和已经超过了所有特征值之和的97%。我们取前两个特征值对应的特征向量，得到一个4×2的矩阵M。令A'
150×2=A
150×4M
4×2，这样我们就把150×4的数据A集映射成了150×2的数据集A'，特征由4个减到了2个。
A'=
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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142
143
144
145
146
147
148
149
150
|
2.8271335 5.6413345
2.7959501 5.1451715
2.6215213 5.1773814
2.7649037 5.0036022
2.7827477 5.648651
3.2314432 6.0625092
2.6904502 5.2326213
2.8848587 5.4851323
2.6233824 4.7439288
2.837496 5.2080359
3.0048137 5.9666624
2.898198 5.3362466
2.7239067 5.0869876
2.2861405 4.8114466
2.867797 6.5009233
3.127471 6.6594805
2.8888143 6.132817
2.8630179 5.633864
3.3122624 6.1939719
2.9239945 5.8351996
3.2008088 5.7125959
2.9681058 5.7547583
2.2954831 5.4563413
3.2082122 5.4202505
3.1551697 5.2835156
3.0034234 5.1756719
3.0422848 5.4526144
2.9489496 5.6894119
2.8715193 5.634018
2.8784929 5.1246505
2.9228787 5.117334
3.1012632 5.7328089
2.8637038 6.1347075
2.9141809 6.4147479
2.837496 5.2080359
2.6443408 5.3919215
2.8861119 5.921529
2.837496 5.2080359
2.5294983 4.8344766
2.9210176 5.5507867
2.7412018 5.5857866
2.6591299 4.3818646
2.5130445 4.9804183
3.1058267 5.5106443
3.3025077 5.7574212
2.7956756 5.0720467
2.9737672 5.8250931
2.6710196 5.0941501
2.9686547 5.901008
2.8074283 5.4297384
6.7961349 6.0001695
6.4437514 5.6339266
6.9754017 5.8189198
5.6923082 4.4891254
6.5984751 5.3901207
6.1517776 4.8974035
6.6065644 5.5986187
4.759874 4.3136202
6.5546382 5.5436868
5.5011511 4.5941521
5.0002549 4.0522372
6.0224389 5.2124439
5.7736764 4.7668379
6.4953853 5.1903675
5.3364769 5.0629127
6.4389134 5.7829664
6.1709338 4.9627499
5.7458813 4.9828064
6.4537025 4.7729094
5.5545872 4.7332394
6.6275817 5.2305124
5.8681272 5.2479059
6.8078095 4.9871684
6.4318433 5.1323376
6.2253487 5.465109
6.4109813 5.6443412
6.8423818 5.5594003
7.0687368 5.5821223
6.3237964 5.1523966
5.204006 4.949643
5.440998 4.6121911
5.3194564 4.6372386
5.6463357 5.0030194
6.8900779 4.8935226
6.098616 4.8314411
6.3185463 5.5097803
6.7317694 5.722765
6.3242084 4.9440526
5.7565361 5.0479987
5.6758544 4.6350671
5.9743719 4.6452005
6.4015012 5.2809153
5.7402198 4.9124716
4.8042598 4.3063037
5.866874 4.8115092
5.8424678 5.1035466
5.8865791 5.0231053
6.1530309 5.3338002
4.6028777 4.5631602
5.8091488 4.9677114
8.0430681 5.3028838
6.9254133 4.7398024
8.1278252 5.6566652
7.4821558 5.1336016
7.8610989 5.2728454
8.9082203 5.8618983
6.0307247 4.123374
8.4433454 5.6671066
7.8310134 5.0691818
8.4294749 6.0951088
7.1732758 5.5567668
7.3136813 5.0985747
7.6767196 5.5300099
6.8559354 4.5383128
7.0966086 4.7754209
7.4160846 5.4335471
7.4605895 5.3554582
9.0001057 6.486272
9.3060273 5.5679974
6.8096707 4.5537158
7.939508 5.6915111
6.7094386 4.7091479
9.0106057 5.7715045
6.8990091 5.1106987
7.7871944 5.6481141
8.1255342 5.8730957
6.7689661 5.1355922
6.8020106 5.1983025
7.6341949 5.1038737
7.8989047 5.7772489
8.3523013 5.6874736
8.743683 6.6852526
7.6700793 5.0964032
6.9544433 5.170927
7.2909809 4.8132622
8.587862 6.0004966
7.6563279 5.453633
7.4162037 5.3627746
6.6801944 5.1502251
7.6189944 5.6862121
7.8256443 5.497338
7.4337916 5.7240021
6.9254133 4.7398024
8.0746635 5.5907028
7.9307322 5.6182322
7.4553579 5.5021455
7.0370045 4.9397096
7.2753867 5.3932482
7.4129702 5.430603
6.9010071 5.0318398
|
每个样本正好是二维的，画在平面坐标系中如图：
鹫尾花数据集共分为3类花（前50个样本为一类，中间50个样本为一类，后50个样本为一类），从上图可以看到把数据集映射到2维后分类会更容易进行，直观上看已经是线性可分的了，下面我们用自组织映射网络对其进行聚类。
当然我们已知了有3类，所以在设计SOFM网络时，我把竞争层节点数设为3，此时的聚类结果是前50个样本聚为一类，后100个样本聚为一类。当把竞争层节点数改为4时，仅第2类中的3个样本被误分到了第3类中，整体精度达98%！
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int
sample_num=150;
//鹫尾花样本个数
const
int
class_num=4;
//指定聚类的数目
int
iteration_ceil;
//迭代的上限
vectorvectorconst
double
prime_eta=0.7;
//初始学习率
/*向量模长归一化*/
void
normalize(vector<
double
> &vec){
double
sum=0.0;
for
(
int
i=0;i
sum+=
pow
(vec[i],2);
sum=
sqrt
(sum);
for
(
int
i=0;i
vec[i]/=sum;
}
/*从文件读入鹫尾花样本数据*/
void
init_sample(string filename){
ifstream ifs(filename.c_str());
if
(!ifs){
cerr<<
"open data file failed."
<
exit
(1);
}
for
(
int
i=0;i
vector<
double
> X(2);
ifs>>X[0]>>X[1];
normalize(X);
//输入向量模长归一化
flowers[i]=make_pair(X[0],X[1]);
}
ifs.close();
}
/*初始化权值*/
void
init_weight(){
srand
(
time
(0));
for
(
int
i=0;i
vector<
double
> ele(2);
ele[0]=
rand
()/(
double
)RAND_MAX;
ele[1]=
rand
()/(
double
)RAND_MAX;
normalize(ele);
//权值向量模长归一化
weight[i]=ele;
}
}
/*根据输入，选择获胜者*/
int
pick_winner(
double
x1,
double
x2){
int
rect=-1;
double
max=0.0;
for
(
int
i=0;i
double
product=x1*weight[i][0]+x2*weight[i][1];
if
(product>max){
max=product;
rect=i;
}
}
return
rect;
}
int
main(
int
argc,
char
*argv[]){
cout<<
"input iteration count"
<
int
count;
//每个样本迭代的次数
cin>>count;
cout<<
"input data file name"
<
string filename;
cin>>filename;
iteration_ceil=count*sample_num;
init_sample(filename);
init_weight();
double
eta=prime_eta;
double
gradient1=-1*9*prime_eta/iteration_ceil;
double
gradient2=-1*prime_eta/(9*iteration_ceil);
double
b1=prime_eta;
double
b2=prime_eta/9;
for
|