bzoj5017 [Snoi2017]炸弹 O(n)递推

5017: [Snoi2017]炸弹

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Description

在一条直线上有 N 个炸弹，每个炸弹的坐标是 Xi，爆炸半径是 Ri，当一个炸弹爆炸时，如果另一个炸弹所在位置 Xj 满足： 

Xi−Ri≤Xj≤Xi+Ri,那么，该炸弹也会被引爆。 

现在，请你帮忙计算一下，先把第 i 个炸弹引爆，将引爆多少个炸弹呢？ 

Input

第一行，一个数字 N，表示炸弹个数。 

第 2∼N+1行，每行 2 个数字，表示 Xi，Ri，保证 Xi 严格递增。 

N≤500000

−10^18≤Xi≤10^18

0≤Ri≤2×10^18

Output

一个数字，表示Sigma(i*炸弹i能引爆的炸弹个数),1<=i<=N mod10^9+7。 

Sample Input

4
1 1
5 1
6 5
15 15

Sample Output

32

HINT

Source

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去年省选题啊，要是我去年省选肯定不会做。

网上的题解都是线段树优化建图+tarjan缩点+topo排序，这样做不仅复杂度高，而且代码量大，我还是讲一下当时的正解吧（雾

我们定义l[i]为炸弹i经过连锁反应之后能炸到的最靠左的炸弹是哪个，r[i]对称同理，R[i]为炸弹i的爆炸半径。

初始化l[i]=r[i]=i;

然后我们先求出l[i]，具体求法为：

如果x[i]-x[l[i]-1]<=R[i]的话，左边那个炸弹是可以被影响到的，所以我们用l[l[i]-1]更新l[i]，之后我们还需要更新R[i]，因为左边的炸弹能够连锁反应，扩大炸弹i的实际爆炸范围，但是我们已经处理了左边，不需要R[i]的扩大对于左边的贡献了，所以我们只需要计算对右边的贡献，炸弹i通过引爆左边的炸弹，左边的炸弹又能影响到炸弹i右边的炸弹，而且还能使得R[i]变大，很明显R[l[i]]是R[i]的至少2倍才可行，因为我们只需要计算对右边的贡献，所以需要减掉i和l[i]之间的距离，具体见代码。

之后有了没个炸弹对右边的影响范围，我们求r[i]简直是易如反掌：

考虑从右向左求，如果x[r[i]+1]-x[i]<=新的R[i]的话，可以产生贡献，同理更新，同时我们要用l[r[i]]更新l[i]，因为可能更靠左，这个时候的l都是已经求好的，所以不用在线更新。

之后统计答案即可。

复杂度：这是一个比较玄学的东西，但是大概这样：我们求解一个l[]或者r[]的时候，用来递推他的l[i]-1/r[i]+1已经是以前递推出来的极限值了，更新之后再次比较一定不会满足while循环的条件，所以while循环只会执行一次，这样时间复杂度就是O(n)，我在loj上进行了测试，结果就是n-1；

代码极其好写：

#include 
using namespace std;
long long n,x[500005],R[500005],l[500005],r[500005],A;
main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&x[i],&R[i]),l[i]=r[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        while(l[i]>1&&x[i]-x[l[i]-1]<=R[i])
            l[i]=l[l[i]-1],R[i]=max(R[i],R[l[i]]-(x[i]-x[l[i]]));
    for(int i=n;i>=1;i--) 
        while(r[i]