椭圆曲线公钥密码体制详解

椭圆曲线公钥密码体制

1.椭圆曲线的加法

1.1依据

如果在椭圆曲线上有3个点存在于一条直线上，则它们的和为无穷远点。其中无穷远点即为$O$.

1.2 点P和点-P相加

点P和点-P相加的和为无穷远点。

1.3 点P和点Q相加

设连接点P和Q的直线，交椭圆曲线于点R，则点P和点Q的和为点-R.

1.4 求点P的2倍

通过点P作曲线的切线，交曲线于另一点R,则2P = -R.

1.4.1求点P的2倍的特例

若点P的切线的斜率是0(我不知道这里为什么说是0，我觉得应该是不存在），则2P = O, 3P = P, 4P = O, 5P = P…

2.有限域上的椭圆曲线

2.1 定义

对于曲线$y^2=x^3+ax+b(modp)$，a,b为小于p的整数。当$4a^3+27b^2(modp)$不为零时，构成有限域$F_p$上的椭圆曲线群。记为$E_p(a,b)$

2.2 补充知识：平方剩余

https://chenglinyu.blog.csdn.net/article/details/89081707

2.3 有限域上的椭圆曲线的点的构造

• 对于每一个$x(0<=x<p)$,计算$z=x^3+ax+b(modp)$; (该等式的右半部分恰恰就是椭圆曲线方程的右半部分，左侧是$y^2$)
• 若z不是模p有限域的平方剩余（也称为模p的平方根），则没有具有x值的$E_p(a,b)$点。
• 若z是模p的平方根，则存在满足条件的两个点

2.3.1 椭圆曲线$E_{23}(1,0)$的点的构造

这一句话透露了三个信息

• p = 23
• a = 1
• b = 0

所以椭圆曲方程为：

$y^2=x^3+x(mod23)(0<=x<23)$

所以对没有每一个$0<=x<23$,开始遍历。

x = 0, 计算 $z=0+0(mod23)=0$,计算

$x=1,z=2(mod23)$

$2^{11}\equiv 1(mod23)$

所以存在两个平方根。一个y是5，一个y则是-5(mod 23) $\equiv $ 18(mod 23).

我们学习密码学，头脑中一定要时刻装着有限域的概念，不要还停留在实数的角度去思考问题

所以对应的两个点是(1,5),(1,18)

依次类推。

3.有限域上两个点的加法

注意：所有运算都是在模23上的有限域上的运算，所以除法就是求模23的乘法逆元，求乘法逆元的方法是扩展的欧几里得算法，另外不要轻易约分，一定要是与23互素的公因子才能约分，具体参见《初等数论及其应用》推论4.4.1