算法进阶指南，火车进出栈问题

这是算法进阶指南上面的题目，然后这道题需要用到卡特兰数，具体什么是卡特兰数下面是百度得来的：

出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? [5-6] 
常规分析
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。ps.author.陶百百）
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n-1）（n=0，1，2，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。
非常规分析
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n-1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

 

然后这道题就转变成来求c(2n,n)/(n+1)的组合数列了，再看一下题意的范围达到60000所以第一直觉就是要进行大数乘法，

如果进行暴力大数乘法，时间可能会超，这时就可以来用素筛法，将质因数分解开来，分解成几个素数相乘，极大的减少了时间。

下面是我的代码，具体的解释会在代码中标注：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 60010;
const int M = 120010;

LL res[N], tt ;
int q[M];
bool st[M];

void multi(int b)
{
    LL t = 0;
    for(int i = 0; i <= tt; i ++ )
    {
        res[i] = res[i]*b + t;
        t = res[i] / 1000000000;//这个地方进行压位处理，把九个数字压在LL数组中的一位来进行
        res[i] %= 1000000000;//大数乘法的基本模板
    }
    while (t)
    {
        res[++ tt] = t % 1000000000;
        t /= 1000000000;
    }
}

void out()
{
    printf("%lld",res[tt]);//去掉前导0
    for (int i = tt - 1; i >= 0; i --  )
        printf("%09lld" , res[i]);
    cout << endl;
}

int get(int n,int p)//来求质数因子出现的次数
{
    int s = 0;
    while(n)
    {
        s += n/p;
        n /= p;
    }
    return s;
}

int main()
{
    int n ;
    cin >> n;
    for(int i = 2; i <= 2*n; i ++ )
        for(int j = (i << 1); j <= 2*n; j += i )
            st[j] = true;
            
    for(int i = 2; i <= 2*n; i ++ )
        if(!st[i])
        {
            q[i] = get( n*2 , i ) - get( n * 2 - n , i ) * 2;
        }
    int k = n + 1;
    for(int i = 2; i <= k; i ++ )
        while( k % i == 0)
        {
            k /= i;
            q[i] -- ;
        }
        
    res[0] = 1;
    
    for(int i = 2; i <= n * 2; i ++ )
        while(q[i] -- )
        multi(i);
        
    out();
    
    return 0;
}

其中在质因子分解的地方要做一个解释：

求n的阶乘某个因子a的个数，如果n比较小，可以直接算出来，但是如果n很大，此时n!超出了数据的表示范围，这种直接求的方法肯定行不通。其实n!可以表示成统一的方式。

n!=(k^m)*(m!)*a   其中k是该因子，m=n/k，a是不含因子k的数的乘积

下面推导这个公式

n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1

   =(k*2k*3k.....*mk)*a      a是不含因子k的数的乘积，显然m=n/k;

   =(k^m)*(1*2*3...*m)*a

   =k^m*m!*a

接下来按照相同的方法可以求出m!中含有因子k的个数。

因此就可以求除n!中因子k的个数

可以将这个当作求N的阶乘的含有某个元素p的个数，其中数学推导也非常清楚。

int get(int n,int k)
{
    int num=0;
    while(n)
    {
        num+=n/p;
        n/=p;
    }
    return num;
}

谢谢！