算法笔记 //11_旅行售货员问题

问题重述：

   售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
   路线是一个带权图。图中各边的费用（权）为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。
   旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线。
   设有p个城市，假设每两个城市之间都有直通通道，两个城市之间的路程已知，一个售货员要到每个城市推销产品，然后返回原出发地，问这个售货员应该如何选择路线，能使每个城市都经过一次且仅一次，并且行程最短，这就是著名的旅行售货员问题，也即货郎担问题。

算法思想：

   用图论的术语来描述旅行售货员问题：即在一个正权完全图中寻找一个具有最小权的哈密顿回路，对于此问题，由于完全图中必然存在哈密顿回路，那么目前可以用于求解的方法有枚举法，分枝限界法，这两种算法可以求得此问题的精确解，但到目前为止，还没有求解这一问题的有效算法，我们可以利用分支限界法，回溯法求解此问题的近似解，以求得与最优解最为接近的解。
   我们根据图的图生成了一棵2叉排列树，这样求最小路程就转换为如何解这棵空间树的问题。我们做过生成排列的题目如果我们穷举一遍，那么自然可以得到我们想要的解，但是这样时间复杂度O(n!)，效率低得可怜，所以我们只有来优化他。
   首先我们可以用一个记录的方法，用bestc存放当前已经得到的最优解，那么只要我得到当前的解已经超过最优解了，那么剩下的我就可以不用算了；其次：如果对于任意两个城市是无边标记的（即两个城市之间是没有通路的）也不用考虑这个我们做了优化，具体的时间复杂度只能根据问题的规模而定了，接下来就是实现的问题了。（PS：这道题目还可以用记忆搜索，也就是搜索+DP，可以进一步提高效率，不过这里没有实现，转自百度文库）

C++ 代码如下：

#include
using namespace std;

const int NoEdge=-1;
const int MAX=20;
int G[MAX][MAX];	// 用来存放所有的两个地点之间的距离
int ans[MAX],x[MAX];
int bestc,cc;		// 存放当前已经得到的最优解

void init(int n)	// 初始化、读取用户输入值函数
{
	int i,j,len;
	memset(G,NoEdge,sizeof(G));		
	// memset是一个 C++ 函数：将 s 所指向的某一块内存中的前 n 个字节的内容全部设
	// 置为 ch 指定的ASCII值， 第一个值为指定的内存地址，块的大小由第三个参数指定，
	// 这个函数通常为新申请的内存做初始化工作， 其返回值为指向s的指针。
	// 作用是在一段内存块中填充某个给定的值，它是对较大的结构体或数组进行清零操作
	// 的一种最快方法。（因为主函数中要循环输入，所以在这里不可省略。额。。。应该如此）
	cout << "Please input the distance of every two cities(such as '1 2 54',that means you'll spend 54 arrving at city 2 from city 1. And the distance of the final two cities should be expressed like '0 0'.):  " << endl;
	while(cin >> i >> j)	// 地点用数字编号来表示
	{
		if(i==0 && j==0) break;	// 若输入的是同一个地点，中止程序，也就是最后输入 0 0 后，会输出结果
		cin >> len;	// 读取某两个地点之间的距离
		G[i][j]=len;	// 存储这个距离
		G[j][i]=len;	// 城市一到城市二的距离和反过来是一样的
	}
	for(i=1; i<=n; i++)
	{ x[i]=i; }
	bestc = 0x3f3f3f3f;	// 将最优值初始化为无穷大
	cc = 0;
}

void Swap(int& i,int& j)	// 交换 i、j 的值
{ 
	int t = i; 
	i = j; 
	j = t; 
}
  
void Traveling(int i,int n)		// 计算函数，i 在主函数中初始化为 2
{ 
	int j; 
	if( i == n+1 )		// 也就是说 2 == n + 1,即用户只输入了一个城市
	{   
		if(G[ x[n-1] ][ x[n] ] != NoEdge && G[ x[n] ][ 1 ] != NoEdge && (cc + G[ x[n] ][ 1 ] < bestc ) )
		{  
			for(j=1; j<=n; j++)  
			{ ans[j] = x[j]; } 
			bestc = cc + G[ x[n] ][ 1 ];  
		} 

	} 
	else 
	{  
		for(j=i; j<=n; j++) 
		{  
			if( G[ x[i-1] ][ x[j] ] != NoEdge && ( cc + G[ x[i-1] ][ x[j] ] < bestc) ) 
			{  
				Swap( x[i],x[j] ); 
				cc += G[ x[i-1] ][ x[i] ]; 
				Traveling(i+1,n); 
				cc -= G[ x[i-1] ][ x[i] ];
				Swap( x[i],x[j] ); 
			} 
		} 
	} 
}  

void print(int n)	// 输出打印结果函数
{  
	cout << "The idearest value is: " << bestc << endl; 
	cout << "The idearest routine is: "; 
	for(int i=1; i<=n; i++) 
	{ cout << ans[i] <<" -> "; } 
	cout << ans[1] << endl; 
} 

int main() 
{ 
	int n;  
	while(1)
	{
		cout << "Please input the number of cities: ";
		cin >> n;
		init(n); 
		Traveling(2,n);
		print(n);
		cout << "---------------------------------------------------------------------" << endl;
	} 

	return 1;
}