算法时间复杂度----分治与递归

算法时间复杂度之分治与递归

算法是解决问题的办法或法则，而“速度”就是算法之魂，在计算机中所谓的“速度”就是=时间+空间。在大家初期的算法学习中，往往感觉算法这东西摸不着头脑，会感觉：它为什么会这么用，这种用法究竟有什么不同，我自己的解法就不好吗？所以要想解决这种困惑，要想真正的理解算法之道，就必须要对算法的复杂度进行分析。

因为算法的复杂度与时间效率有很大的关系，所以我们分析算法往往基于对时间复杂度的分析。

今天这一节，我们先讲讲递归问题的算法分析。

算法核心：一般来讲，分治策略将一个大的复杂的问题划分为a个同样的子问题，这些子问题的大小为n/b。如果一直递归分解下去，我们获得的算法时间复杂性的递归表达式为：

Tn=a+T(n/b)+f(n)

这里的b是每次分解时间问题规模减小的因子，a是每次分解时产生的子问题个数，是分解出（和合并）a个大小为n/b的子问题的成本。很显然，a>=1,b>1,并且f的渐进趋势为正。（如果该函数渐进表现为负会是什么情况？）注意，如果b<=1,则说明这种分治完全失败，因为分解出来的子问题规模与原问题相当或超过了原问题！

这样，求解一个分而治之算法的时间效率就是求解上述递归表达式。那么上述递归表达式的解是什么呢？

Eg：有一段程序：

voidfun(int a[],int n,int k)

{

    int i;

    if(k==n-1)

    {

        for(i=0;i

            cout<

    }

    else

    {

        for(i=k;i

            a[i]=a[i]+i*i;

        fun(a,n,k+1);

    }

}

因为每次分解只有一个fun（）函数，所以a=1;

因为每次k只加1，所以n/b=(n-1)/1;

因为每次分解都有一个i从k到n的循环，所以f(n)=n-k;

   综上： 

                         n                    ,当k=n-1；

        T(n)=

                      （n-k）+T（k+1）      ，其他情况；

 

所以大家基于这个求递归的复杂度的算法，可以进一步检验此类算法的效率。