lucas定理
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逆元知识储备
这个Lucas定理是解决组合数的时候用的，当然是比较大的组合数了。比如C（1000000,50000）% mod，这个mod肯定是要取的，要不算出来真的是天文数字了。
对于一个组合数C（n，k），它等于 n! / ( k! * ( n - k)! ) 我们要求一个mod。但是我们知道的同余定理是在 + - * 这三个运算中使用的，对于除法我们不能轻易的使用同余定理。如果我们能把除数（分母）转化为一个乘法就好了，这个时候我们就用到了逆元的知识：
这就开始说逆元了：
定义：对于正整数
和
，如果有
，那么把这个同余方程中
的最小正整数解叫做模的逆元。
如果m是素数且GCD（a，mod）== 1，我们就直接可以用费马小定理求了。即求：a^(m-2)% mod。
用快速幂求即可。
如果还不明白逆元是个啥，我举个简单的例子来看看：
求：（24 / 3）% 5 我们可以直接观察得结果：3
但是这个只是个24，如果前面是一个很大很大的数的连乘longlong都存不下呢？我们肯定是一边乘一边求mod。在这里，我们把24对5求模，结果是4。这个4不能直接除以3再求模，一看肯定是错误的。这里我们要把这个4乘3的逆元再求模。根据刚刚说的，3的逆元为3^(5-2) = 27 （或者用扩展欧几里得exGCD（3,5,x,y）这样求出来的x就是3mod5的逆元）。然后按照刚刚说的，4 * 27 % 5 = 3 ，这就是结果了。
反正根据我的理解就是，由于除法不能使用同余定理，那么我们就把除以的这个数转化为乘法，然后用同余定理即可。
逆元如果知道了，我们继续说Lucas定理的使用。
先说一下定义：
Lucas 定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0] 这里的每一个数组元素表示其p进制的每一位。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])。也就是说，把大组合数问题变成了一个个的小组合数。（A，B小于mod）
对于每一个小组合数，我们继续刚才的说明：n! / ( k! * ( n - k)! ) ，我们要求k！*（n - k）！的逆元。套用上面逆元的求法，再看一下下面的模板，应该就不难理解了。
Lucas定理用递归的方法，代码：
LL Lucas(LL n,LL k) //Lucas定理递归
{
if (k == 0) //递归终止条件
return 1;
else
return C(n % mod , k % mod) * Lucas(n / mod , k / mod) % mod;
}
然后我们要求组合数，代码：
LL C(LL n , LL k) //费马小定理求逆元
{
if (k > n)
return 0;
else
return fac[n] * (quick(fac[k] * fac[n-k] % mod , mod - 2)) % mod;
}
这里用到了快速幂，代码：
LL quick_mod(LL n , LL m) //求快速幂
{
LL ans = 1;
n %= mod;
while (m)
{
if (m & 1)
ans = ans * n % mod;
n = n * n % mod;
m >>= 1;
}
return ans;
}
对于阶乘，我们可以先打一个表，运算就快很多：
void getfac() //打一个阶乘表
{
for (int i = 2 ; i <= 1000000 ; i++)
fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
}
来一个大代码：（求大组合数对mod = 1000003求模）
#include
#include
#include
using namespace std;
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
LL mod = 1000003;
LL fac[1000000+11] = {1,1};
void getfac() //打一个阶乘表
{
for (int i = 2 ; i <= 1000000 ; i++)
fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
}
LL quick_mod(LL n , LL m) //求快速幂
{
LL ans = 1;
n %= mod;
while (m)
{
if (m & 1)
ans = ans * n % mod;
n = n * n % mod;
m >>= 1;
}
return ans;
}
LL C(LL n , LL k) //费马小定理求逆元
{
if (k > n)
return 0;
else
return fac[n] * (quick_mod(fac[k] * fac[n-k] % mod , mod - 2)) % mod;
}
LL Lucas(LL n,LL k) //Lucas定理递归
{
if (k == 0) //递归终止条件
return 1;
else
return C(n % mod , k % mod) * Lucas(n / mod , k / mod) % mod;
}
int main()
{
getfac();
LL n,k;
int Case = 1;
int u;
scanf ("%d",&u);
while (u--)
{
scanf ("%lld %lld",&n,&k);
printf ("Case %d: %lld\n",Case++,Lucas(n,k));
}
return 0;
}