投影向量计算公式的推导

在$R^3$中，将向量$\beta$投影到向量$\alpha$上的投影向量记为${\Pi }_{\alpha }(\beta )$。

如上图，${\Pi }_{\alpha }(\beta )$与$\alpha$共线，于是，
$${\Pi }_{\alpha }(\beta )=xe,(1)$$
其中，$x$为投影值，它的绝对值等于投影向量的长度，$e=\frac{\alpha }{|\alpha |}$, 即与$\alpha$同方向的单位向量。
下面求$x$的值：

由点乘的计算公式，
$$\beta \cdot e=|\beta ||e|cos\theta =|\beta |cos\theta =x(2)$$
将（2）代入（1），得

$${\Pi }_{\alpha }(\beta )=xe=(\beta \cdot e)e$$
$$=\frac{\beta \cdot \alpha }{|\alpha |}\frac{\alpha }{|\alpha |}=\frac{\beta \cdot \alpha }{\alpha \cdot \alpha }\alpha ，$$
所以，

$${\Pi }_{\alpha }(\beta )=\frac{\beta \cdot \alpha }{\alpha \cdot \alpha }\alpha$$

应用

例1 在$R^3$中，向量$\beta =(1，2，3{)}^T,\alpha =(1,1,1{)}^T$，计算${\Pi }_{\alpha }(\beta ).$

解：$${\Pi }_{\alpha }(\beta )=\frac{1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1}{1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1}\alpha =\frac{6}{3}\alpha =2\alpha .$$

推广

在$n$维欧式空间$P^n$中，点乘推广为内积，记为$(\beta ,\alpha )$, 上述投影公式可推广为：
$${\Pi }_{\alpha }(\beta )=\frac{(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha .$$

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