行列式

定义：

行列式是一个函数，定义域是对于一个 n 阶矩阵 A ，其值为一个数（不是矩阵）。写作 det(A) 。

理解：

在几何意义上，行列式表示将一个对象进行几何线性变换，所改变的是这个对象的体积。

性质：

1. 行列式的转置定义为将行列式顺时针旋转90度所得到的的行列式。行列式转置后的值与转置前相同，即在行列式中，行与列是等价的。所以，任意对行成立的性质对列也成立。
2. 行列式 A 中某行(或列)用同一数 k 乘，其结果等于 kA 。
可得如下推论：
Ⅰ）行列式中提出某一行（列）的公因数k后得到的 A′ ，有 A′×k=A .
Ⅱ）行列式某一行全为 0 ，行列式值为 0 .（因为 0 乘任何数为 0 ）。
3. 可以将行列式中某一行（列）（假设是第i行（列））集体拆分后，得到两个不同的行列式（这两个行列式与原来的行列式只有第 i 行（列）不同，且两个行列式在第 i 行（列）相应位置上的数的和等于原行列式上相应位置的数），这两个行列式之和等于原行列式。
4. 交换行列式的两行（列），行列式变号。
5. 若行列式两行（列）对应位置完全成倍数，那么行列式为 0 。
（由5可得）（特殊情况是：两行（列）完全相同，行列式为 0 。）
6. 把行列式的某一行（列）乘上一个数k之后加到另一行（列），行列式值不变。

计算：

1. 定义性计算：算排列，逆序数（等会讲）。
2. 余子式展开：就是按行列这样子展开，但复杂度巨高，是 n! 的。
3. 高斯消元：再用这个方法之前，先要知道一个性质：上三角或下三角的行列式的值等于对角线上的值的积。
   所以把这个行列式消成上三角或下三角行列式即可（就是标准的高斯消元：高斯消元的博客在这里。）（这里的上三角，下三角实际上是有误的。实际上，应该是梯形阵，就是只有对角线上的元素不为 0 的行列式）

应用：

• 范德蒙行列式：

把某一行换成相应的向量，可以解方程（不如高斯消元）。

特殊（行列式与逆序数的关系）：

行列式的定义可以是：（引自百度百科）

式中 k1,k2,...,kn 是将序列 1,2,...,n 的元素次序交换 k 次所得到的一个序列， Σ 号表示对 k1,k2,...,kn取遍 1,2,…,n$的一切排列求和。
那么这个有什么用呢？见下题：

例题：

给定n点m边有向无环图，其中没有入度的点被视为源点，没有出度的点被视为汇点。保证源点和汇点数目相同。
考虑所有把源汇点两两配对，用两两点不相交的路径把它们两两连接的所有方案
如果这个方案中，把源点按标号排序后，得到的对应汇点序列的逆序数对的个数是奇数，那么A给B一块钱，否则B给A一块钱。
问最后A的收益，对一个p取模n，m，p 均为整数，p为质数。

这个实际上就是一个行列式， A[i][j] 表示 i 与 j 之间有无边，有就是 1 ，没有就是 0 。这样子直接算。
证明如下：
首先如果对于一个排列中有 0 ，那么就不是一条路径，肯定不行。如果是一条合法路径，那么他带来的贡献是正确的。但是如果有重复的点怎么办呢？

我们考虑这样子相交的点，必定在 （1） 算了一次，在 （2） 算了一次，而两次逆序对奇偶性相反，所以就会被抵消。

小结：

无