【三进制FWT】UOJ272 [清华集训2016] 石家庄的工人阶级队伍比较坚强

【前言】
昨天模拟题可以用高进制下的$\text{FWT}$做，根据sc的说法我写了一次，然后又弄了一会，就来写个板子。

吐槽一下居然还要卡常，我把乘一个$\omega ,{\omega }^2$改成直接进行变换才过了。
用时除等于二。

【题目】
UOJ
令$n=3^m$，有$n$个人玩石头剪刀布，一共$t$轮游戏，每轮游戏出$m$次。每个人的出法固定为其编号的三进制表示下的数字。令$b_{x,y}$表示两个人玩，第一个人赢了第二个人$u$次，输了$v$次的权值。每个人初始有一个权值$f_{0,i}$，在第$k$轮，第$x$个人的权值是：
$$f_{k,x}=\sum _{0\le y<n}{f}_{k-1,y}{b}_{u,v}$$
权值对$p$取模，求每个人最终的权值。
$m\le 12,t\le 10^9,2\nmid p,3\nmid p$

【解题思路】
懒得写题解，以下来自dalao。虽然贴也好累啊

转移关系都是固定的，设它为矩阵$B$，那么要求的就是$f_n=f_0{B}^n$

然后我们定义三进制不进位加法$\oplus$和三进制不退位减法$\ominus$，根据$B$的定义以及石头剪刀布的性质可以得到$\forall k<3^m,B_{i\oplus k,j\oplus k}=B_{i,j}$

那么易得$B_{i,j}=B_{i\ominus j,0}$，将这个结论推广到$B^n$，就有$\forall k<3^m,B_{i\oplus k,j\oplus k}^n=B_{i,j}^n$，可以使用归纳法证明。

对于$f_n=f_0{B}^n$，它的第$i$项为：
$$f_{n,i}=\sum _k{f}_{0,k}{B}_{k,i}^n=\sum _k{f}_{0,k}{B}_{0,i\ominus k}^n=\sum _{x\oplus y=i}{f}_{0,x}{B}_{0,y}^n$$
那么这个就是一个异或卷积的形式，而且我们只需要第一行，又因为
$$B_{0,i}^n=\sum _k{B}_{0,k}^n{B}_{k,i}=\sum _k{B}_{0,k}^n{B}_{0,i\ominus k}=\sum _{x\oplus y=i}{B}_{0,x}^n{B}_{0,y}$$
我们只需要对$B$的第一行做$n$次卷积，然后$f$再和它卷积即可。

然后就是三进制下的$\text{FWT}$了，我们需要一个三次单位根$\omega$，然后复数可以表示成$a+b\omega$的形式，由于有${\omega }^2+\omega +1=0$，所以${\omega }^2=-\omega -1$，运算过程中由于系数均为$0/1/-1$，所以不需要取模。

接下来我们可以定义复数乘法：
$$(a+b\omega )(c+d\omega )=ac+(ad+bc)\omega +bd(-\omega -1)=(ac-bd)+(ad+bc-bd)\omega$$
然后就有
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \omega & {\omega }^2\\ 1& {\omega }^2& \omega \end{array}\right]$$
以及
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \omega & {\omega }^2\\ 1& {\omega }^2& \omega \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& {\omega }^2& \omega \\ 1& \omega & {\omega }^2\end{array}\right]=3E$$
由于每次$\text{IDFT}$的时候多乘了一个$3$，总共${\log }_{3}n$层，因此最后只需要讲所有数除以一个$n$即可。

复杂度$O(nm+n\log t)$

补充：高进制$\text{FWT}$的矩阵及逆矩阵

这是异或的：
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& w_n& w_n^2& \cdots & w_n^{n-1}\\ 1& w_n^2& w_n^4& \cdots & w_n^{2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& w_n^{(n-1)}& w_n^{2(n-1)}& \cdots & w_n^{(n-1)(n-1)}\end{array}\right]$$

$$A^T=\frac{1}{n}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& w_n^{-1}& w_n^{-2}& \cdots & w_n^{-(n-1)}\\ 1& w_n^{-2}& w_n^{-4}& \cdots & w_n^{-2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& w_n^{-(n-1)}& w_n^{-2(n-1)}& \cdots & w_n^{-(n-1)(n-1)}\end{array}\right]$$

这是与的，相当于做一个后缀和，逆运算是差分。
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

这是或的，相当于做一个前缀和，逆运算是差分。
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$$

【参考代码】

#include
using namespace std;

const int N=6e5+10;
int n,m,T,mod;
int a[N],b[15][15];

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

int upm(int x){return x>=mod?x-mod:x<0?x+mod:x;}
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
void exgcd(int &x,int &y,int a,int b){if(!b)return (void)(x=1,y=0);exgcd(y,x,b,a%b),y-=a/b*x;}
int inv(int a){int x,y;exgcd(x,y,a,mod);return (x%mod+mod)%mod;}

struct cd
{
	int x,y;
	cd(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}
	cd operator + (const cd&a){return cd(upm(x+a.x),upm(y+a.y));}
	cd operator - (const cd&a){return cd(upm(x-a.x),upm(y-a.y));}
	cd operator * (const cd&a){return cd(upm(mul(x,a.x)-mul(y,a.y)),upm(upm(mul(x,a.y)+mul(y,a.x))-mul(y,a.y)));}
};
cd f[N],g[N];

cd w1(const cd&a){return cd(upm(-a.y),upm(a.x-a.y));}//w1=cd(0,1)
cd w2(const cd&a){return cd(upm(a.y-a.x),upm(-a.x));}//w2=cd(mod-1,mod-1)=w1*w1
void fwt(cd *a,int n)
{
	for(int i=1;i<n;i*=3)
		for(int j=0;j<n;j+=i*3)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				cd x=a[j+k],y=a[j+k+i],z=a[j+k+(i<<1)];
				a[j+k]=x+y+z;a[j+k+i]=x+w1(y)+w2(z);a[j+k+(i<<1)]=x+w2(y)+w1(z);
			}
}
void ifwt(cd *a,int n)
{
	for(int i=1;i<n;i*=3)
		for(int j=0;j<n;j+=i*3)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				cd x=a[j+k],y=a[j+k+i],z=a[j+k+(i<<1)];
				a[j+k]=x+y+z;a[j+k+i]=x+w2(y)+w1(z);a[j+k+(i<<1)]=x+w1(y)+w2(z);
			}	
}

cd qpow(cd x,int y)
{
	cd res=cd(1,0);
	for(;y;y>>=1,x=x*x) if(y&1) res=res*x;
	return res;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("UOJ272.in","r",stdin);
	freopen("UOJ272.out","w",stdout);
#endif
	m=read();T=read();mod=read();n=1;
	for(int i=1;i<=m;++i) n*=3;
	if(mod==1){for(int i=0;i<n;++i)puts("0");return 0;}
	for(int i=0;i<n;++i) a[i]=read();
	for(int i=0;i<=m;++i) for(int j=0;j<=m-i;++j) b[i][j]=read();
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		int tmp=i,cntw=0,cntl=0;
		for(;tmp;tmp/=3)
		{
			int j=tmp%3;
			j==1?++cntw:j==2?++cntl:0;
		}
		g[i].x=b[cntw][cntl];f[i].x=a[i];
	} 
	fwt(f,n);fwt(g,n);
	for(int i=0;i<n;++i) f[i]=f[i]*qpow(g[i],T);
	ifwt(f,n);
	for(int i=0,iv=inv(n);i<n;++i) writeln(mul(f[i].x,iv)); 
	return 0;
}