【组合计数+NTT优化卷积】BZOJ5306 [HAOI2018] 染色
【题目】
lydsy
一个长度为 n n n的序列，每个位置可以被染成 m m m种颜色中的一种。若一种方案中出现次数恰好为 S S S的颜色数有 K K K种，则会有 W K W_K WK的愉悦值。问所有方案的愉悦值总和对 1004535809 1004535809 1004535809取模的结果。
n ≤ 1 0 7 , m ≤ 1 0 5 , S ≤ 150 n\leq 10^7,m\leq 10^5,S\leq 150 n≤107,m≤105,S≤150
【解题思路】
首先这个模数就很 NTT \text{NTT} NTT了（ 1004535809 = 2 21 ⋅ 479 + 1 1004535809=2^{21}\cdot 479+1 1004535809=221⋅479+1，原根为 3 3 3）
然后我就发现我不会做了。于是以下来自各种 blog \text{blog} blog
设 N = min ( m , ⌊ n S ⌋ ) N=\min(m,\lfloor \frac n S \rfloor) N=min(m,⌊Sn⌋)表示出现 S S S次的颜色数上界，设 f i f_i fi表示染色后出现了 S S S次的颜色有 i i i种的方案数，则答案就是：
∑ i = 0 N w i ⋅ f i \sum_{i=0}^N w_i\cdot f_i i=0∑Nwi⋅fi
这个 f i f_i fi直接求比较难求，于是考虑这样一个容斥，设 g i = i ! g_i=i! gi=i!：
f i = ( m i ) ( n i S ) ( g i S ) ! g S i ∑ j = 0 N − i ( − 1 ) j ( m − i j ) ( n − i S j S ) g j S g S j ( m − i − j ) n − i S − j S f_i={m\choose i}{n \choose iS} \frac {(g_{iS})!} {g_S^i} \sum_{j=0}^{N-i} (-1)^j {m-i\choose j}{n-iS\choose jS} \frac {g_{jS}} {g_S^j} (m-i-j)^{n-iS-jS} fi=(im)(iSn)gSi(giS)!j=0∑N−i(−1)j(jm−i)(jSn−iS)gSjgjS(m−i−j)n−iS−jS
这个柿子的意思大概是先从 m m m种颜色中选出 i i i种。然后从这 n n n个位置中选出 i S iS iS个进行可重排列，就是 ( n i S ) ( g i S ) ! g S i {n \choose iS} \frac {(g_{iS})!} {g_S^i} (iSn)gSi(giS)!了。接下来剩下的 m − i m-i m−i种颜色，在 n − i S n-iS n−iS个位置上随便填，但由于可能会使某种颜色出现了 S S S次，所以后面这个东西我们需要容斥。容斥的意义就是额外出现了 S S S次的颜色有 j j j种，我们就需要在 m − i m-i m−i种颜色中选出这 j − i j-i j−i种，并在 n − i S n-iS n−iS个位置中选出 j S jS jS个进行可重排列，剩下的位置随便填。
这样 ( m − i − j ) n − i S − j S (m-i-j)^{n-iS-jS} (m−i−j)n−iS−jS不太好处理，不妨将第二个和式中的 j j j意义改变为实际上有 j j j种颜色出现了 S S S次，那么就是用 j − i j-i j−i替换 j j j并改变循环下标：
f i = ( m i ) ( n i S ) ( g i S ) ! g S i ∑ j = i N ( − 1 ) j − i ( m − i j − i ) ( n − i S j S − i S ) g j S − i S g S j − i ( m − j ) n − j S f_i={m\choose i}{n \choose iS} \frac {(g_{iS})!} {g_S^i} \sum_{j=i}^{N} (-1)^{j-i} {m-i\choose j-i}{n-iS\choose jS-iS} \frac {g_{jS-iS}} {g_S^{j-i}} (m-j)^{n-jS} fi=(im)(iSn)gSi(giS)!j=i∑N(−1)j−i(j−im−i)(jS−iSn−iS)gSj−igjS−iS(m−j)n−jS
接下来就是化简这个柿子，那么将组合数写成阶乘形式后化简：
f i = g m ⋅ g n g i ∑ j = i N ( − 1 ) j − i ⋅ ( m − j ) n − j S g j − i ⋅ g m − j ⋅ g n − j S ⋅ g S j f_i=\frac {g_m\cdot g_n} {g_i}\sum_{j=i}^N\frac {(-1)^{j-i}\cdot (m-j)^{n-jS}}{g_{j-i}\cdot g_{m-j}\cdot g_{n-jS}\cdot g_S^j} fi=gigm⋅gnj=i∑Ngj−i⋅gm−j⋅gn−jS⋅gSj(−1)j−i⋅(m−j)n−jS
这里面的 j j j不太好做，不妨把 j j j提到外层，那么最后的答案可以得到：
a n s = ∑ i = 0 N w i ⋅ f i = ∑ i = 0 N w i ⋅ g m ⋅ g n g i ∑ j = i N ( − 1 ) j − i ⋅ ( m − j ) n − j S g j − i ⋅ g m − j ⋅ g n − j S ⋅ g S j = g m ⋅ g n ⋅ ∑ j = 0 N ( m − j ) n − j S g m − j ⋅ g n − j S ⋅ g S j ∑ i = 0 j ( − 1 ) j − i ⋅ w i g i ⋅ g j − i \begin{aligned} ans &=\sum_{i=0}^N w_i\cdot f_i \\ &=\sum_{i=0}^Nw_i\cdot \frac {g_m\cdot g_n} {g_i}\sum_{j=i}^N\frac {(-1)^{j-i}\cdot (m-j)^{n-jS}}{g_{j-i}\cdot g_{m-j}\cdot g_{n-jS}\cdot g_S^j} \\ &=g_m\cdot g_n\cdot \sum_{j=0}^N\frac {(m-j)^{n-jS}}{g_{m-j}\cdot g_{n-jS}\cdot g_S^j} \sum_{i=0}^j \frac {(-1)^{j-i}\cdot w_i}{g_i\cdot g_{j-i}} \end{aligned} ans=i=0∑Nwi⋅fi=i=0∑Nwi⋅gigm⋅gnj=i∑Ngj−i⋅gm−j⋅gn−jS⋅gSj(−1)j−i⋅(m−j)n−jS=gm⋅gn⋅j=0∑Ngm−j⋅gn−jS⋅gSj(m−j)n−jSi=0∑jgi⋅gj−i(−1)j−i⋅wi
现在左边是一个只与 j j j有关的柿子，右边是 A ( x ) = w x g x A(x)=\frac {w_x} {g_x} A(x)=gxwx和 B ( x ) = ( − 1 ) x g x B(x)=\frac {(-1)^x}{g_x} B(x)=gx(−1)x的卷积。
那么我们就可以愉快地做 NTT \text{NTT} NTT了，最后复杂度 O ( n + m log m ) O(n+m\log m) O(n+mlogm)
【参考代码】荣获BZOJ垫底
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