题14：剪绳子

我GitHub上的：剑指offer题解

动态规划的题：0-1背包问题

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m].请问k[0]*k[1]*...*k[m]可能的最大乘积是多少？

 

动态规划法：

动态规划求解问题的四个特征： 
①求一个问题的最优解； 
②整体的问题的最优解是依赖于各个子问题的最优解； 
③小问题之间还有相互重叠的更小的子问题； 
④从上往下分析问题，从下往上求解问题；

这道题很明显复合这四个特征故我们可以使用动态规划求解。
 

方法1：动态规划

子问题的最优解存储在f[ i ]数组中，数组中的第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。

本题是一道典型的动态规划算法题，为了避免递归产生的重复计算，采用了从下而上的计算顺序实现。

时间复杂度O(n*n/2)=O(n^2)，空间复杂度O(n)

public class MaxValueAfterCutting {

	public static int maxValueAfterCutting(int length) {
		if(length < 2) {
			return 0;
		}
		if(length == 2) {
			return 1;
		}
		if(length == 3) {
			return 2;
		}
		int[] f = new int[length + 1];
		f[0] = 0;
		f[1] = 1;
		f[2] = 2;
		f[3] = 3;
		
		int result = 0;
		for(int i = 4; i <= length; i++) {
	
			int max = 0;
			for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
			
				if(max < f[j]*f[i-j]) {
					
					max = f[j]*f[i-j];
				}
				f[i] = max;
			}
			
		}
		result = f[length];
		return result;
	}
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(maxValueAfterCutting(9));
	}
}

注意：外层循环从绳子长度为4开始，由题意可知最少剪一刀，所以内层循环从j= 1开始，分别计算f(j)*f(i-j)的值，并且与当前记录的最大值max进行比较。

f[0] f[1] f[2] f[3]的初始化是为了后面计算方便。长度为1,2,3的最大值已经在最开始直接返回了。

方法2：贪心算法

《剑指offer》里提供一种贪心算法