[BZOJ3817] [清华集训2014] Sum [类欧]

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BZOJ - https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3817

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d r d（警觉）
世 界 名 曲
DANCE ROBOT DANCE （幻视

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$T\le 10^4,n\le 10^9,r\le 10^4$
$$\sum _{d=1}^n(-1{)}^{\lfloor \sqrt{drd}\rfloor }$$

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Let $x=\sqrt{r}$
Then $ans=\sum _{d=1}^n(-1{)}^{\lfloor dx\rfloor }$
Obviously $ans=\sum _{d=1}^{n}1-2(\lfloor dx\rfloor \&1)$
$ans=\sum _{d=1}^{n}1-2\lfloor dx\rfloor +4\lfloor \frac{dx}{2}\rfloor$

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Q. $f(a,b,c,n)=\sum _{i=0}^n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$
If a>=c || b>=c then $f(a,b,c,n)=\lfloor \frac{a}{c}\rfloor \cdot \frac{n(n+1)}{2}+\lfloor \frac{b}{c}\rfloor \cdot (n+1)+f(a\%c,b\%c,c,n)$
if a < c && b < c then

要计算的就是上面阴影部分内的整点个数（ y > 0
显然现在要做的是缩小 c 才能继续计算下去
先考虑枚举两维坐标？
$\sum _{x=0}^n\sum _{y=1}^m[cy\le ax+b]$
发现这个时候可以把 a 转为分母，然后 c 变成 a 就缩小了规模
$\sum _{x=0}^n\sum _{y=0}^{m-1}[x>(cy+c-b-1)/a]$
$nm-\sum _{y=0}^{m-1}\lfloor \frac{cy+c-b-1}{a}\rfloor$
于是有 $nm-f(c,c-b-1,a,m-1)$

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小时候看类欧直接被推f 推g 推h三连吓到了
好像实际上挺simple的（？

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总之这题最后就是求 $n-2\sum _{d=1}^n\lfloor dx\rfloor +4\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{dx}{2}\rfloor$
如果 $x^2=r$ 可以直接求 所以下面默认 $x$ 是无理数了。

首先要注意这道题 $x$ 并不一定是整数
$f(a,c,n)=\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{ax}{c}\cdot d\rfloor$
smjb.jpg
仿照一般类欧对 $\lfloor \frac{a}{c}\cdot d\rfloor$ 的处理 为了方便设 $k=\frac{ax}{c}$
如果 $k\ge 1$ 那么 $f(a,c,n)=\lfloor \frac{ax}{c}\rfloor \cdot \frac{n(n+1)}{2}+f(a\%c,c,n)$
否则 令 $m=\lfloor \frac{ax}{c}\cdot n\rfloor$
$\begin{array}{rcl}f(a,c,n)& =& \sum _{d=1}^n\sum _{y=1}^m\left[y<\frac{ax}{c}\cdot d+1\right]\\ & =& \sum _{d=1}^n\sum _{y=1}^m\left[d>\frac{cy-c}{ax}\right]\\ & =& nm-\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{(c-1)x}{ar}\cdot y\rfloor \\ & =& nm-f(c-1,ar,m)\end{array}$
递归边界 $n=0$ 时间复杂度 $O(TLE)$
为什么？
类欧的复杂度/正确性一定需要 $a,b,c,n$ 来保证。原因是我写了之后发现会炸idk tbh

所以重推
$k\ge 1,f(a,b,c,n)=\cdots$
$otherwise\dots$
最后可以得到一个 $O(\log )$ 的算法
复杂度分析我不会感觉化一下也许就能变成正常类欧的复杂度分析（？

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Tips.
为了不会炸飞，每次类欧的时候可以把 a, b, c 同除 gcd
正确性显然，，，

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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int T;
long long n, r, ans, k;
double x, t;
long long gcd(const long long& a, const long long& b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
long long f(long long a, long long b, long long c, long long n)
{
	if (n <= 0) return 0;
	if (!a) return 0;
	k = gcd(a, gcd(b, c));  a /= k; b /= k; c /= k;
	t = (x * a + b) / c; k = t;
	if (k) return k * (n * (n + 1) / 2) + f(a, b - c * k, c, n);
	t *= n;
	return n * floor(t) - f(a * c,  -b * c, a * a * r - b * b, t);
}
int main()
{
	scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld%lld", &n, &r);
		x = sqrt(r);
		k = floor(x);
		ans = n;
		if (k * k == r)
		{
			if (k & 1) puts((n&1)?"-1":"0");
			else printf("%lld\n", n);
			continue;
		}
		ans -= (f(1, 0, 1, n) << 1);
		ans += (f(1, 0, 2, n) << 2);
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}