机器学习-周志华 学习笔记4
3.4线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）
LDA的思想：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近，异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。图3.3给出一个二维示意图：
欲使同类样例的投影点尽可能接近，可以让同类样例投影点的协方差尽可能小，而欲使异类样例的投影点尽可能远离，可以让类中新之间的距离尽可能大，同时考虑二者可得欲最大化的目标，即为二者比值最大。具体计算参见机器学习-周志华P61.
3.5多分类学习
一般基于一些基本策略，利用二分类学习器来解决多分类问题，考虑N个类别C1，C2，…，CN，多分类学习的基本思路是“拆解法”，即将多分类任务拆为若干个二分类任务求解。本节主要介绍拆分策略。
最经典的拆分策略有三种：“一对一”（One vs.One，简称OvO）、“一对其余”（One vs. Rest，简称OvR）和多对多（Many vs. Many，简称MvM）。
给定数据集D={（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）}，yi∈{C1，C2，…，CN}。OvO将这N个类别两两配对，产生N(N-1)/2个分类任务，最终得到N(N-1)/2个分类结果，最终结果投票产生。图3.4给出一个示意图。
OvR则是每次将一个类的样例作为正例、所有其他类的样例作为反例来训练N个分类器。在测试时若仅有一个分类器预测为正类，则对应的类别标记作为最终分类结果，如图3.4所示。若有多个分类器预测为正类，则通常考虑各分类器的预测置信度，选择置信度最大的类别标记作为分类结果。
OvO的存储开销和测试时间开销通常比OvR更大。但在训练时，OvR的每个分类器均使用权不训练样例，而OvO的每个分类器仅用两个类的样例，因此在类别很多时，OvO的训练时间开销通常比OvR更小。至于预测性能，则取决于具体的数据分布，在多数情形下两者差不多。
MvM是每次将若干个类作为正类，其他类做为反类。MvM的正反类构造必须有特殊的设计，不能随意选取，这里介绍最常用的MvM技术：“纠错输入码”（Error Correcting Output Codes，简称ECOC）。
ECOC是将编码的思想引入类别拆分，并尽可能在解码过程中具有容错性。工作过程主要分为两步：
编码：对N个类别做M次划分，每次划分将一部分类别划分为正类，一部分划分为反类，从而形成一个二分类训练集；这样一共产生M个训练集，可以训练出M个分类器。
解码：M个分类器分别对测试样本进行预测，这些预测标记组成一个编码。蒋政预测编码与每个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小的类别作为最终结果预测。
类别划分通过“编码矩阵”（coding matrix）指定。编码矩阵常见的主要有二元码，三元码。前者将每个类别分别指定为正类和反类，后者在正、反类之外，还可指定“停用类”。图3.5给出了示意图。
在图3.5（a）中，若基于欧氏距离，预测结果将是C3。
之所以称为“纠错输出码”是因为在测试阶段，ECOC编码对分类器的错误有一定的容忍和修正能力。一般来说，同一个学习任务，ECOC编码越长，纠错能力越强。然而，编码越长，意味着所需训练的分类器越多，计算、存储开销都会增大；另一方面，对有限类别数，可能的组合数目是有限的，码长超过一定范围后就失去了意义。
3.6类别不平衡问题
类别不平衡（class-imbalance）就是指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。
从线性分类器的角度讨论便于理解。在我们用 对新样本x进行分类时，事实上是在用预测出的y值与一个阈值进行比较，几率y/(1-y)，则是反映了正例可能性与反例可能性之比值，阈值设置为0.5表明分类器认为真实正、反例可能性相同，即分类器决策规则为：若y/(1-y) > 1则预测为正例。
然而当训练集中正反例数目不相同时，令m+表示正例数目，m-表示反例数目，此时
若
则预测为正例，实际执行时由于按照
执行，所以需要令
，这就是类别不平衡学习的一个基本策略—“再缩放”（rescaling）。
再缩放的思想简单，但是实际操作并不简单，主要因为“训练集是真实样本总体的的无偏采样”这个假设往往并不成立，也就是说，我们未必能有效地基于训练集观测几率来推断真实几率。现在技术大体上有三种做法：“欠采样”（undersampling）：即去除一些反例使得正反例数目接近再学习，第二类是“过采样”（oversampling），即增加一些正例使得正反例数目接近再学习；第三类是直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将 
嵌入决策过程中，称为“阈值移动”（threshold-moving）。