矩阵A^TA(A'A)和AA^T(AA')的性质

\quad 对于任意一个矩阵$A\in R^{m\times n}$，其转置与它自身的乘积$A^{T}A$,以及它自身与其转置的乘积$A{A}^T$有如下性质：

1.$rank(A^{T}A)=rank(A)=rank(A^T)=rank(A{A}^T)$
\quad 证明：首先，显然有$rank(A^{T}A)\le rank(A)$;
\quad 再由：$A^{T}Ax=0\Rightarrow x^T{A}^{T}Ax=0\Rightarrow Ax=0$可知，$A^{T}A$的右零空间一定包含于$A$的右零空间. 即：$$N(A^{T}A)\subset N(A),$$ \quad 于是必然有：$dim[N(A^{T}A)]\le dim[N(A)],$即：$n-rank(A^{T}A)\le n-rank(A)$,即得：$rank(A^{T}A)\ge rank(A)$.
\quad 综上有$rank(A^{T}A)=rank(A)$.在这式子中用$A^T$代替$A$就得到：$rank(A{A}^T)=rank(A^T)$.结合$rank(A)=rank(A^T)$证毕.

2.$A^{T}A$和$A{A}^T$均对称半正定.
\quad 证明：$A^{T}A$显然对称，同时有：$\forall x\in R^n,x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^T(Ax)\ge 0$.同理可证$A{A}^T$对称半正定.

3.设rank(A)=r,那么$A{A}^T$合同于${\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right]}_{m\times m}$,$A^{T}A$合同于${\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right]}_{n\times n}$.
\quad 证明：由合同变换不改变秩，及上诉性质2可以得到.

4.$A^{T}A$和$A{A}^T$具有相同的非零特征值.
\quad 证明：参考我的另一篇博客：矩阵AB和BA的特征值关系

5.$A^{T}A$与$A^T$具有相同的列空间，$A{A}^T$与$A$具有相同的列空间。
\quad 证明：显然$A^{T}A$列空间$\subset$$A^T$列空间,但又有：$rank(A^{T}A)=rank(A)$,可知它们的列空间维数相同，因此它们的列空间必然相同;同理可证$A{A}^T$与$A$具有相同的列空间。