codeforces 708E——前缀和优化dp

题目大意为：
一个n*m块砖的建筑，一共k天，每天风从两边吹，吹掉砖的概率为p，反之为1-p求最终建筑没有倒塌的可能性（上层与下层有交集且每一层都有砖）
1<=n,m<=1500,1<=k<=100000
先预处理出pl[],pr[](k天后左右端点所在位置的可能性)
首先 f[i][l][r]为i行形状为l到r的可能性，只要枚举上层的形状使二者有交集即可转移，复杂度n^5。
考虑上层有交集的可能性为总可能性减去交集为空的可能性
引入dp[i][r]=Σl 预处理sumr[i][r]=Σl<=r dp[i][l]
由于对称性suml[i][l]=sum[i][m-l+1]
所以f[i][l][r]=pl[l]*pr[r]*(sumr[i][m]-sumr[i][l-1]-suml[i][r+1])
至此O(n*m^2)
发现若固定区间右一端点，左端点的计算是类似的，变化为pl[l]*sumr[i][l-1]
直接求解dp[i][r]=Σl<=r pl*pr*(sumr[i][m]-suml[i][r+1]-sumr[i][l-1])
=pr(sumr[i][m]-sum[i][r+1])*Σpl-Σ(pl[l]*sumr[i][l-1])
显然通过简化状态将时间复杂度简化为O(n*m)

#include
#include
#include
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2010,K=100010;
ll P[K],P2[K];
ll dp[N][N];
ll sum[N],sumr[N][N],suml[N][N],sumpl[N];
ll cj[K],inv[K];
ll pl[N],pr[N];

int quick(ll x,ll y){
	ll ans=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod){
		if(y&1)	ans=ans*x%mod;
	}
	return ans;
}

ll c(int i,int j){
	return cj[j]*inv[i]%mod*inv[j-i]%mod;
}

int main(){
	ll a,b;int n,m,k;
	int i,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);scanf("%lld%lld",&a,&b);scanf("%d",&k);
	P2[0]=1;P2[1]=a*quick(b,mod-2)%mod;
	a=b-a;
	P[0]=1;P[1]=a*quick(b,mod-2)%mod;
	rep(i,2,k){
		P[i]=P[i-1]*P[1]%mod;P2[i]=P2[i-1]*P2[1]%mod;
	}
	cj[0]=1;
	rep(i,1,k)	cj[i]=cj[i-1]*i%mod;
	inv[k]=quick(cj[k],mod-2);
	for(i=k-1;i>=0;i--)	inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	rep(i,0,m-1){
		if(i>k)	pl[i+1]=0;
		pl[i+1]=c(i,k)*P2[i]%mod*P[k-i]%mod;
		pr[m-i]=pl[i+1];
	}
	rep(i,1,m)	sumpl[i]=(sumpl[i-1]+pl[i])%mod;
	sumr[0][m]=1;
	rep(i,1,n){
		rep(j,1,m)	sum[j]=(sum[j-1]+pl[j]*sumr[i-1][j-1])%mod;
		rep(j,1,m)	dp[i][j]=((pr[j]*(sumr[i-1][m]-suml[i-1][j+1])%mod*sumpl[j]-pr[j]*sum[j])%mod+mod)%mod;
		rep(j,1,m)	sumr[i][j]=(sumr[i][j-1]+dp[i][j])%mod;
		rep(j,1,m)	suml[i][j]=sumr[i][m-j+1];
	}
	sumr[n][m]=(sumr[n][m]+mod)%mod;
	printf("%lld",sumr[n][m]);
}