牛顿迭代法及应用

作者：faaronzheng 转载请注明出处！

今天遇到一个题，不用库函数求立方根。网上有很多介绍了，就是使用牛顿迭代法进行近似计算。下面自己总结一下。

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下面首先介绍一下牛顿迭代法：牛顿迭代法的核心思想是使用泰勒级数的线性项近似计算函数f(x)=0的根。把f(x)在点 x0 x 0 的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，
即 f(x)+f′(x0)(x−x0)=0 f ( x ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = 0 ，以此作为非线性方程 f(x)=0的近似方程，即切线方程（p.s. 其实就是两点式直线方程y- y0 y 0 =k(x- x0 x 0 )），若 f′(x)≠0 f ′ ( x ) ≠ 0 ，则其解为 x=x0−f(x)f′(x) x = x 0 − f ( x ) f ′ ( x ) ， j将其推广，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式 xn+1=xn−f(xn)f′(xn) x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) 。

通俗的讲，这个迭代过程先随机先一个初始点 x0 x 0 ，过( x0 x 0 ,f( x0 x 0 ))做函数的切线，将切线和横坐标的切点做下一个点继续做切线，知道切线和函数的切点落在横坐标上。下面的动画可以形象的展示这一过程。

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接下来我们的目标就是构造出f(x)=0，以求立方根为例，我们只要令
f(x)= x3−n x 3 − n 就可以。剩下的就是将上面的想法编码实现：

public double f(double x, double num) // 函数
{
    return x*x*x-num;
}

public double _f(double x)  // 导函数
{
    return 3*x*x;
}

public double getCubeRoot(double input)
{
    double x=1;
    do
    {
        x = x - f(x,input)/_f(x);
    } while(f(x,input) > 0.00001 || f(x,input) < -0.00001);

    return x;
}