金融黑科技：分期付款的时候，你到底多付了多少钱？
金融黑科技：分期付款的时候，你到底多付了多少钱？典型误区：把服务费率等同于实际利率
0.5%的分期服务费，给人的直观印象是“利率很低”，但仔细一算，挺吓人的：年化利率高达11.07%。
你买的理财产品，有6%的年化收益就很难了？
基本背景
互联网金融火了之后，校园贷，分期支付，白条和花呗瞬间普及到全网全国。
但是，很不幸的是，大学生的数学都是语文老师教的，大多数都不及格呀。
看到分期支付0利息，可以赊账，打白条，就头脑发热买了iPhone，笔记本等电子设备。
等到自己还完款，大呼上当，一共“多”付了好大一笔钱。
购物场景：商品价格120元，“利息”为0，分期服务费每期0.5%，1个月为1期。
大学生小明同学，想知道：分期支付的资金成本，即月化利率，年化利率。
分期支付清单
基本规则：每期还本金10元，服务费每期0.6元，一共12期。
为什么用“还”这个词？
分期支付的过程，本质就是：你从电商网站，借了120元商品的钱。这笔钱支付了商品的费用，电商给你的借款，变成了12个月的还款账单。
列出12个月的账单
第1个10元 时长1个月 服务费0.6元
第2个10元 时长2个月 服务费0.6元
第3个10元 时长3个月 服务费0.6元
......
第12个10元 时长12个月 服务费0.6元
账单等价表述1：
12个月的时间，有效使用金钱为10*1+10*2+10*3+...+10*12=(10+120)/2*12。
平均1个月，使用的金钱为65元。
而1个月的服务费为0.6元：
平均1个月的费率为：0.6/65=0.923%
账单等价表述2：借了120元本金，服务费一共有0.6元*12=7.2元，等效借款时间为6.5个月。
平均1个月的费率为：
12个月的年化利率为：0.923% *12 = 11.07%。
数学公式推导
P：商品价格
X：每个月的服务费
N：分期月数
用账单等价描述1 得出的算法
用账单等价描述2 得出的算法是一样的
观察最终的公式，我们可以看出，月化利率M和商品价格P没有关系，而且月化利率是分期服务费的某个倍数。
因此...
我们根据结果，可以联想到第3种推导过程：
每个月的服务费率为，每个月的服务费 / 每个月的借款本金
第1个月的服务费率为：(P*X)/(P/N*1)
第3个月的服务费率为：(P*X)/(P/N*2)
......
第N个月的服务费率为：(P*X)/(P/N*N)
平均每个月的服务费率为：（P*X）/(P/N+2P/N+...NP/N)/N= 2NX/(1+N)
3种推导过程中的数学解释：每2个变量之间的算数运算，都表示一个独立的含义。
如果存在算数运算没有明确的含义，或者计算后的单位不对，可以肯定过程有漏洞。
验证上面的答案
X=0.5%
N=12
M=2*12*0.5%/(1+12)=(12/13)%=0.923%
感觉背后的数学解释
最初，在没有推导这个过程的时候，我凭自己的感觉，得出的结论是，月化利率会略小于0.5%的2倍。
因为，一半左右的钱，都是提前还了，而最后1个月是完整的用了12个月。
也就是说，月化利率略小于1%，略小于0.5%的2倍。
现在，我们根据最后的公式，来解释最初的感觉：
2NX/(1+N) = ((N+1)+(N-1))X/(N+1) =(1+ (N-1)/(N+1))X，
进一步等价转换成(2-2/(1+N))X，显然是小于2X的。
这样，就充分印证了最初的说不清的感觉。
感觉可能靠谱，也可能不靠谱。
但是，用有逻辑的数学过程，去推导结论，则是非常严谨严密的。
分期支付的巨坑
随着期数的增加，你还的本金越来越多，但是服务费还是根据“商品总价”来算的。
普通的等额本息，是会扣除已经还的那部分的本金。
金融案例
某某白条，双11有以下活动：
分期场景1：3期和6期，无服务费
分期场景2：12期，服务费打5折，0.25%
分期场景3：24期，服务费不打折，0.5%
场景1：电商白借钱给你，6个月左右的时间，等额还款，没有任何“费用”，非常值得使用。
如果利用好这笔消费资金，拿去理财，可以有一点收益。
场景2：服务费0.25%，年化利率略小于6%。
场景3：服务费0.5%，年化利率略小于12%。
在有服务费的情况下，如果打白条，你承担了6%和12%左右的资金成本。
是否需要打白条，就要看个人理财情况了：
如果你有钱，不理睬，就没有必要打白条。
如果你理财的收益，比如说为8%，那么你就可以使用12期的白条。因为理财收益，可以覆盖成本。
24期的坚决不能，自己的收益还不如白条的成本，都给别人打工了。
真的是这样吗？
上面的分析，还漏了一点。
就是6个月的也是免息的。
12期和24期的，不但不免息，前6期的也不免息。
因此，打白条是否划算，还要考虑到这6期的“机会成本”。
12期和24期，需要考虑3个方面的因素：前6个月免息的“机会成本”、你理财的收益、白条的服务费成本。
一个网友的分享
网友算的，0.5%的服务费，等价于年化利率11.07%，和我的是一致的。
典型误区：把分期付款服务费率等同于实际利率
写后感
写作本文，一共花了4个小时。
分期支付的利率问题，看似简单，但想要得出经得起推敲的结论，却需要用数学代数去推导。
人生处处皆学问，金融数学不分家。
小雷-金融实践者
2016年11月1日
北京-宋家庄