【01字典树】【贪心】【经典例题1】HDU 4825 Xor Sum 【给一个数的集合，有q次询问，每次给一个数k，求数集合中和k异或值最大的数】+ 例2 CSU - 1216 异或最大值

【01字典树】【贪心】【经典例题1】HDU 4825 Xor Sum 【给一个数的集合，有q次询问，每次给一个数k，求数集合中和k异或值最大的数】 + 例题2 CSU - 1216 异或最大值

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• 字典树的实现可以看成是把一个数的二进制字符化后插入到一棵一般的字典树中，该树显然是一个只由0和1构成的二叉树
• 01字典树适用于执行异或运算

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例题一：HDU 4825 Xor Sum

Problem Description
Zeus 和 Prometheus 做了一个游戏，Prometheus 给 Zeus 一个集合，集合中包含了N个正整数，随后 Prometheus 将向 Zeus 发起M次询问，每次询问中包含一个正整数 S ，之后 Zeus 需要在集合当中找出一个正整数 K ，使得 K 与 S 的异或结果最大。Prometheus 为了让 Zeus 看到人类的伟大，随即同意 Zeus 可以向人类求助。你能证明人类的智慧么？

Input
输入包含若干组测试数据，每组测试数据包含若干行。
输入的第一行是一个整数T（T < 10），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数N，M（<1=N,M<=100000），接下来一行，包含N个正整数，代表 Zeus 的获得的集合，之后M行，每行一个正整数S，代表 Prometheus 询问的正整数。所有正整数均不超过2^32。

Output
对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
对于每个询问，输出一个正整数K，使得K与S异或值最大。

Sample Input
2

3 2
3 4 5
1
5

4 1
4 6 5 6
3

Sample Output
Case #1:
4
3
Case #2:
4

题意：

给一个数的集合，里面有n个数，然后有k次询问，每次给一个数k，问在数的集合里，和k异或值最大的数是谁。

思路：

• 异或就是两个二进制位置上的数不同就可以得到1相同则得到0
• 那么我们要得到和k异或值最大的数a，我们就需要尽量使得a和k在每一个第i位上不一样。
• 构建字典树
  • 把每一个数都转换成二进制（位置要对齐，前面不足则补0），转换的长度就跟题目给的数据范围有关了，此题就33位即可。
  • 将二进制数从高位到低位，依次将值插入到字典树中，更新字典树的顺序和过程与普通单词字典树一模一样，从左到右地（即高位到低位）遍历插入各位二进制数值，这里next指针只有两个——next[0]与next[1]，更新的最后把这个二进数的十进制值附到结尾节点的val上，表示这整条路对应的十进制是val。
  • 1、 一般情况下正项等比数列前n-1项求和的值肯定要小于第n项的值。
    2、也就是说对于一个二进制数来说，第一个1出现在越高位，它的值就越大，就算这个数就只在这个高位出现了1，它的值也比 这个高位没有1，而下面的低位全为1的数要大。例如0100要比0011大。
    3、也就是说最坏情况下，走第x个节点但是x+1_{n均只能得到0的时候，也比不走x而x+1}n均得到1的情况好。（x为高位，n为最低位）
  • 查询过程中，从树根开始往下找，设k的第i位数字为cur，如果存在cur^{1（即取反），就往cur}1走，没有的话就走cur。
  • 这里二进制数直接用biset，非常方便。使用指南

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 35;

struct trie
{
    int val;
    trie * next[2];
    trie()
    {
        val = 0;
        memset(next, 0, sizeof(next));
    }
};

void InsertTrie(trie *root, int num)
{
    bitset<N> bit = num;
    trie * node = root;
    int id;
    for(int i = 32; i >= 0; --i)
    {
        id = bit[i];
        if(!node->next[id])
        {
            node->next[id] = new trie;
        }
        node = node->next[id];
    }
    node->val = num;
}

int query(trie * root, int k)
{
    bitset<N> bit = k;
    trie * node = root;
    int id;
    for(int i = 32; i >= 0; --i)
    {
        id = bit[i];
        if(node->next[id^1])
            node = node->next[id^1];
        else
            node = node->next[id];
    }
    return node->val;
}

void DeleteTrie(trie * node)
{
    for(int i = 0; i < 2; i++)
    {
        if(node->next[i])
            DeleteTrie(node->next[i]);
    }
    delete node;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    for(int ks = 1; ks <= t; ks++)
    {
        trie * root = new trie;
        int n, m, cur;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &cur);
            InsertTrie(root, cur);
        }
        printf("Case #%d:\n", ks);
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            scanf("%d", &cur);
            printf("%d\n", query(root, cur));
        }
        DeleteTrie(root);
    }
    return 0;
}

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##例题二：CSU - 1216 异或最大值
给定一些数，求这些数中两个数的异或值最大的那个值

Input
多组数据。第一行为数字个数n，1 <= n <= 10 ^ 5。接下来n行每行一个32位有符号非负整数。

Output
任意两数最大异或值

Sample Input
3
3
7
9

Sample Output
14

思路：

几乎和上面题一样，每输入一个数，就在字典树里找到一个和它异或最大的数，然后记录最大值即可。

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 35;

struct trie
{
    int val;
    trie * next[2];
    trie()
    {
        val = 0;
        memset(next, 0, sizeof(next));
    }
};

void InsertTrie(trie * root, int num)
{
    trie * node = root;
    int id;
    bitset<N> bit = num;
    for(int i = 32; i >= 0; i--)
    {
        id = bit[i];
        if(!node->next[id])
        {
            node->next[id] = new trie;
        }
        node = node->next[id];
    }
    node->val = num;
}

int query(trie * root, int k)
{
    trie * node = root;
    int id;
    bitset<N> bit = k;
    for(int i = 32; i >= 0; i--)
    {
        id = bit[i];
        if(node->next[id ^ 1])
            node = node->next[id ^ 1];
        else
            node = node->next[id];
    }
    return k ^ node->val;
}

void DeleteTrie(trie * node)
{
    for(int i = 0; i < 2; i++)
    {
        if(node->next[i])
            DeleteTrie(node->next[i]);
    }
    delete node;
}

int main()
{
    int t, n, ans;
    while(~scanf("%d", &t))
    {
        ans = -1;
        trie * root = new trie;
        for(int i = 0; i < t; i++)
        {
            scanf("%d", &n);
            InsertTrie(root, n);
            ans = max(ans, query(root, n));
        }
        printf("%d\n", ans);
        DeleteTrie(root);
    }
    return 0;
}