网络流入门

网络流入门

1. 最大流问题

残余网络：由残余容量（每条边上的容量与流量之差）构成的叫残余网络。

增广路定理：如果残余网络中不存在增广路，则当前流就是最大流。

最小割最大流定理：

最大流的流量 = 最小割的容量

1.1 EK算法（用BFS寻找增广路）$O(n{m}^2)$

思路：

寻找增广路，记录从s到每个节点的路径上的最小残量a[i]，则a[t]就是s到t的最小残量。由于a[]始终是正数，所以用它代替了vis标志数组。

edges[e]与edges[e^1]互为反向弧

1.2 Dinic算法（用DFS在层次网络中多次增广）$O(n^{2}m)$

思路：

用BFS构建层次网络，用DFS进行多次增广，每进行一次增广后，就要重新构建BFS网络，直到s->t不存在路径。

层次图：在残量网络中，起点到节点u的高度叫做dis[u]，我们把dis[u]看做节点u的层次，只保留每个点出发到下一个层次的弧，得到的图就叫做层次图。 这样，每条“起点->层次1->层次2->层次3->…”的路径都是s->t的最短路。

1.3 ISAP算法（在增广过程中完成层次网络的更新）$O(n^{2}m)$

思路：

• Dinic算法中，我们需要每次搜索出层次图，而在ISAP中，我们只需要每次dfs的过程中修改距离标号。

• 具体来说，我们用d[x]表示残余网络上x到汇点t的最短距离，我们每次沿着d[x]=d[v]+1的路增广。如果点x的出边的点没有发现满足这个条件的那么就说明当前的最短距离d[x]已经过时了，我们需要修改距离标号。修改距离标号，就是让x可以至少有一个点可以增广，所以取所有d[v]中最小的那个加一即可。这样增广下去，当d[s]，即s到t的距离大于等于n的时候，就说明至少有一个点经过了两次，即不存在增广路了，这个时候算法结束。

优化

• 如果一开始把距离标号都设为0，那么dfs最多需要O(n2)来把距离标号初始化，而我们可以最开始逆向bfs一次，O(n+m)初始化所有距离标号。
• GAP优化：如果距离标号出现了断层，那么显然不存在新的增广路。我们用一个num数组记录每种层次标号有多少个，如果当前修改了最后一个某种层次标号，那么就出现了前后断层，结束算法。
• 增广过程中，如果一个点的标号没有修改过，那么它已经遍历过的边不需要再遍历一次，所以我们存下每次遍历到哪条边，下一次从这条边cur[x]开始遍历（因为有可能到这里之后流量用完了，但是还没有增广完）。
• 最短路的修改具有连续性，即我们不需要每次求后继的标号最小值，而是直接给标号加一。
• 同Dinic中，如果流量用完了直接退出。

2. 最小费用最大流问题

思路：

类似EK算法，每次用Bellman-Ford算法而非BFS寻找增广路。

只要初始流是该流量下的最小费用可行流，每次增广后的新流都是新流量下的最小费用流。